ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Задать функцию в пространстве (Y) означает задать закон, по которому каждой точке n из рассматриваемой области G пространства (Y) ставится в соответствие точка w из пространства (Y).

Определение предела и непрерывности функций полностью совпадает с теми, которые даются в плоском случае [7].

Естественно пространственную комплексную функцию рассматривать как функцию от двух комплексных переменных (z). Так что, если

где соответственно будут выполняться соотношения:

В комплексном пространстве предел функции f(n ) при существует, если

Остается в силе главное условие комплексного анализа (z) о независимости предела от способа приближения точки . Если предел существует, то при любом способе приближения функция f(n ) будет приближаться к f(n ₀). Если функция определена и в точке n ₀, то она называется непрерывной в точке n ₀.

Функция f(n ), определенная в некоторой точке окрестности точки n , дифференцируема в этой точке, если существует предел

(1.21.)

Этот предел является производной функции, определенной в пространстве (n ).

Условия дифференцируемости функции f(n ) в терминах комплексных функций W и T будут давать:

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция f(n )=W(z, s )+jT(z, s ) определена в точке n и некоторой окрестности ее, причем в этой точке функции Т, W дифференцируемы в смысле комплексного переменного (z) и их частные производные непрерывны

тогда для дифференцируемости функции в точке n необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место равенства:

(1.22.)

Проведем доказательство условий (1.22.). Пусть существует производная

Воспользуемся независимостью предела от способа стремления h к нулю.

А. Пусть точка n +h стремится к точке n по комплексной оси z=z+iy. Тогда получим

Б. Найдем тот же предел в предложении, что точка n +h стремится к n по комплексной оси js , то есть что t® 0 и h=j, где i=x +ih . Получим

Комплексы в пространстве равны когда равны попарно составляющие их комплексы. Откуда и вытекают соотношения (1.22.).

Теорема может быть написана и в действительных переменных x, y, x ,h . Однако этот вариант наиболее прост в изложении и более интересен вариант, когда комплексы представимы в цилиндрических трехмерных а). и четырехмерных координатах. Напомним эти выражения:

а)

б)

Функция f(n ) записывается в виде

Приращение переменной, n при переходе к точке n +h выразим как дифференциал вектора n

Раскроем предел (1.21.) для трех специальных случаев стремления h® 0:

Первый случай соответствует пути по радиусу r при постоянном угле f к постоянной аппликате по оси is ; второй - пути по образующей цилиндрической оси is ; третий - пространственной кривой, на которой изменяется только угол f .

Для первого случая f =const, r = const, имеем

(1.23.)

Для второго случая, r =const, f =const, имеем

(1.24.)

Для третьего случая, r = const, r = const, имеем

(1.25.)

Выражения (1.23.), (1.24.), (1.25.) дают значения производной от пространственной комплексной функции f(n ) в цилиндрических координатах и необходимые условия ее существования

(1.26.)

Приравнивая действительные и комплексные части, получим необходимые условия дифференцирования функции:

(1.27.)

Если функция f определена в четырехмерном пространстве, то необходимые условия ее дифференцирования записываются в виде:

(1.28.)

(1.29.)

Методика вывода выражений (1.28.), (1.29.) аналогична предыдущей.

Условия (1.22.), (1.27.), (1.28.) являются необходимыми условиями существования производной от функции, определенной в комплексном пространстве. Достаточные условия доказываются как и в обычной (z) плоскости (как в двумерном случае).

Если точка n +h стремится к точке n по изолированному направлению

(1.30.)

Из выражения (1.30.) видно, что для стремления точки n +h к точке h по изолированному направлению предел не может существовать, так как его составление теряет смысл, как и в двумерном случае при попытке составить предел, взяв сразу D z=0. Это - результат свойств делителей нуля, модуль которых равен корню из нуля

В обычной комплексной плоскости (z) при рассмотрении предела естественно выбрасывается D z=0. В пространстве вычет приращения h=0 влечет за собой и вычет элементов делителей нуля

Каждая точка комплексного пространства является исходной точкой изолированного направления . Геометрически это означает, что к точке прибавляется точка, не имеющая суммарного радиуса. Если выражение записать в виде , то получаем перенос изолированного направления в точку . Для изолированного направления переменная z является модулем этого направления, остается в силе предельный переход

, .

Для определения производной от функции в изолированном направлении, приращение переменной необходимо рассматривать как единый символ. Приращение функции выразится в виде , так что производная выразится как предел

, или .

Последнее соотношение означает, что для любого существует такое, что неравенство имеет место, если

В этом случае , где есть величина более высокого порядка малости, чем . Справедливо и обратное утверждение

, где A- есть комплексная постоянная, не зависящая от . В этом случае функция дифференцируема в точке и

[Следующий параграф]