ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Оглавление

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Введены основные понятия теории функций пространственного комплексного переменного (ТФПКП): понятие функции, ее производной, интеграла. Показано, что обычные определения классического анализа и теории функций комплексного переменного (ТФКП) переносятся почти без изменения в ТФПКП, но содержание, особенно в критических точках пространства, меняется существенным образом.

Выведены пространственные условия дифференцируемости функции – аналог условий Коши – Римана. Исследована связность пространства и дана теорема – аналог теоремы Коши, как в случае криволинейного интеграла, так и в случае поверхностного.

Особое внимание уделено четырехмерному пространству, содержащему множество, образованное делителями нуля, которое в цилиндрических координатах образует конус-фильтр, состоящий из дискретных точек, а в сферических координатах этот конус сворачивается в цилиндрическую ось с изолированным направлением.

Классические функции анализа приобретают на этом конусе новые свойства, дополняющие понятия этих функций, определенных в плоскости комплексного переменного.

Показана принципиальная возможность создавать объемные конформные отображения и в качестве примеров рассмотрены конформные отображения, которые получаются с помощью дробно-линейной функции, функции Жуковского и их комбинаций.

Дана теория рядов Тейлора и Лорана, построена теория вычетов, получена лемма - аналог леммы Жордана в пространстве и дано применение этой леммы к вычислению не поддававшихся ранее вычислению несобственных двойных интегралов.

1.1. Пространственная комплексная система чисел

1.1.1. Закон извлечения корня из числа.

Алгебра плоского комплексного анализа определила закон извлечения корня из числа в виде формулы , где есть комплексное число такое, что , есть модуль комплекса, argесть аргумент комплекса, есть целое число.

Рассмотрим простейшее уравнение .Определим его корни, путем отыскания его корней по заданной формуле, то есть извлечем квадратный корень из +1.

На плоскости комплексного переменного число равное +1 имеет два аргумента arg и и определено двумя точками : одна точка на верхнем берегу разреза плоскости Z по прямой , другая точка на нижнем берегу разреза. Извлечение квадратного корня из этих точек с разными аргументами дает один и тот же результат

,,

,,

Квадратное уравнение для двух разных точек имеет два одинаковых корня. Две разные точки в плоскости (Z) определяют одно и тоже число +1.При построении комплексного пространства эту особенность необходимо учитывать. Рассмотрим решение квадратного уравнения по следующему варианту:. Так, что необходимо исследовать извлечение квадратного корня из произведения (-1)(-1).

,

получим

Единица была представлена как произведение двух отрицательных единиц, которые на плоскости (z) представляют одну точку с аргументом .Точка находится на верхнем берегу разреза комплексной плоскости (z) по оси . Для получения второго корня в этом случае требуется перемешивание системы отсчета, то есть введение

Тогда

так, что получаем

,

, и если , или то имеем второй корень равный –1

.

Таким образом, показано, что закон извлечения корня из +1 в комплексной плоскости Z дает два корня только в том случае когда системы отсчета перемешаны. В этом случае можно рассмотреть такую систему аргументов в пространстве чисел и их циклическое изменение при которых система отсчета К для обоих аргументов будет одним числом.

Представим

, где ,а мнимая единица J отличается от мнимой единицы I только обозначением, тогда имеем

Таким образом, комплексное число может быть представлено как пространственное с двумя аргументами в виде

с пространственным изменением аргументов и их циклическим приращением равным , где k есть целое число.

Извлечение квадратного корня из +1, кроме тривиального решения , дает пространственное: , и имеем следующую алгебру мнимых единиц ,

.

(1.1.)

[Следующий параграф]

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач