Методика решения задач динамические нагрузки

Понятие о комплексных числах http://ecper.ru/ Испытания первых термоядерных зарядов http://teldig.ru/

Действие динамических нагрузок

Динамической считается такая нагрузка, положение, направление и интенсивность которой зависят от времени, так что необходимо учитывать силы инерции тела в результате ее действия. При этом конструкции или их элементы совершают движения, простейшим видом которых являются колебания. Из различных задач динамики конструкций здесь рассматриваются задачи на действие инерционных и ударных нагрузок, а также задачи на упругие свободные колебания систем с одной степенью свободы.

Упругий удар Под ударом понимают резкое изменение скорости соприкасающихся тел в течение малого отрезка времени. Приближенная («техническая») теория удара базируется на двух основных гипотезах:

а) кинетическая энергия тела, производящего удар, полностью переходит в потенциальную энергию тела, по которому наносится удар (пренебрегают тепловой энергией и др.);

б) распределение напряжений и деформаций по объему тела при ударе принимается таким же, как и при статическом нагружении (пренебрегают волновыми процессами и др.).

Упругие колебания систем с одной степенью свободы Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ В предыдущих главах использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной точке не превосходило допускаемого напряжения (расчетного сопротивления).

Предельная нагрузка для балок Напряженное состояние изгибаемых конструкций (балок) определяется величинами изгибающих моментов.

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Лабораторный практикум является неотъемлемой и существенной составной частью учебного процесса по изучению сопротивления материалов

Определение модуля продольной упругости и коэффициента Пуассона Целью работы является опытная проверка закона Гука при растяжении, определение модуля продольной упругости Е и коэффициента Пуассона ν стали и ознакомление с устройством и работой тензометров.

Исследование нормальных напряжений в сечениях балки при прямом изгибе Данный цикл составляют работы, посвященные проверке теоретических формул для расчета напряжений и перемещений сечений в образцах при прямом изгибе, внецентренном растяжении или сжатии, изгибе с кручением и при продольном изгибе стержня.

Задача К2

Общая постановка задачи:

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, связанных ременной передачей, зубчатой рейки 3 и груза 4, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес Радиусы ступеней колес равны соответственно : у колеса 1- r1= 2 см, r1 = 4 см, у колеса 2– r2 = 6 см, R2 = 8 см. На ободьях колес расположены точки А и В.

Положительное направление для φ и ω- против хода часовой стрелки, для S3, S4 и Vз, V4 - вниз.

Определить в момент времени t1 = 2 с указанные в таблице в столбцах "Найти" скорости (v - линейные, ω - угловые) и ускорения (а - линейные, ε - угловые) соответствующих точек или тел (v4 - скорость груза 4 и т.д.).

Указания. Задача К2 - на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2; и ко­лесо 3 радиуса Rз, скрепленное с валом радиуса rз, находятся в зацеплении;

на вал намотана нить с грузом 4 на конце ( рис. К2). Рейка движется по закону S1=f( t).

Дано: R.2=6 см, r2=4 см, Rз=8 см, rз=3 см, S1 =3t³ (s - в сантиметрах, t - в секундах), А - точка обода колеса 3, t1=3 с.

Определить: ω3, V4, ε3, aA, в момент времени t = t1

 


Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Ri ), через vi а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса гi,), - через ui;.

Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость :

  (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении,  то v2 = v1 или w2R2 = v1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно,  u2 = vз или w2R2 = w3R3. Из этих равенств находим

 (2)

 

Тогда для момента времени t1 = 3с получим wз = 6,75 с-1 .

Определяем v4. Так как v4 = vв = ωзrз, то при t1=3с v4=20,25 см/с. 

Определяем εз. Учитывая второе из равенств (2), получим  

Тогда при t1=3с ε3 =4,5c-2 

Определяем αА. Для точки А , где численно ατА =R3ε3, αnА =R3w23.

Тогда для момента времени t1=3с имеем 

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.К2.

ДИНАМИКА

Задача Д1

Общая постановка задачи:

Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой FX на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время

t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х = f(t), где х = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести R и постоянная сила Q; расстояние от точки А, где v = v0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m = 2 кг, R = mv2, где m = 0.4 кг/м, vo = 5 м/с, / = 2.5 м,

 Fx = 16sin(4t).

Определить:  x= f(t) - закон 


Решение. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р= mg и R. Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось :

(1)

Далее находим Рz = Р = mg, Rz = - R =mv2 ; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых, они зависят. Учтя еще, что Vz = V, получим

 (2)

Введем для сокращения записей обозначения

 (3

где при подсчете принято g @ 10 м/с2. Тогда уравнение (2) можно представить в виде

 (4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем, беря от обеих частей интегралы, получим

 (5)

По начальным условиям при z = 0 v = v0 ,

что дает C1= ln( vo 2 – n ),

и из равенства (5) находим ln (v2 - n) = - 2kz + ln (vo2 - n)

или

 ln (v2 - n) - 

ln (vo2 - n) = -2kz.

 Отсюда

 

В результате находим

(6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2.5 м и заменяя k и n их значениями (3), определим скорость vb груза в точке В (V0 = 5 м/с, число е =2.7) :

V²b = 50 - 25/е =40.7 и VB = 6.4 м/с . (7)

Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость vb будет для движения на этом, участке начальной скоростью (V0 = Vв). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р = mg , N и F.

Проведем из точки В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось :

 (8)

Так как Рx = P sin30° = 0.5 mg , Nx = 0 , Fx = 16sin(4t), то уравнение (8) примет вид

 (9)

Разделив обе части равенства на m = 2 кг и полагая опять g @10 м/с², получим

 

 (10) 

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

 Vx = 5t - 2cos(4t) + С2 (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в

точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = О vx = vo = vв, где

vв дается равенством (7).

Подставляя эти величины в (11), получим

С2 = vв + 2 cos 0 = 6.4 + 2 = 8.4 (12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

 х = 2.5 t2 - 0.5 sin (4t) + 8.4t + Сз 

 (13)

Так как при t=0 х = 0, то Сз = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет

х = 2.5t2 + 8.4t - 0.5sin(4t), (14)

где х - в метрах, t - в секундах.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач