Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Методические указания к решению задач К3.3 и К3.4

 Многие детали машин и сооружений нагружены таким образом, что в опасных точках их поперечных сечений возникают одновременно нормальные и касательные напряжения. Такое нагружение называют сложным. Задачи прочности при сложном нагружении решаются с применением основ теорий напряженного и деформированного состояний.

Необходимые теоретические сведения

 Напряженным состоянием в точке называется совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на всевозможных элементарных площадках, проходящих через эту точку. Напряженное состояние будет полностью определено, если известны напряжения по граням элементарной частицы в виде прямоугольного параллелепипеда, выделенной в окрестности рассматриваемой точки (рис. 11). Нормальные напряжения s имеют индексы, соответствующие наименованию оси, параллельно которой они действуют, sх, sу, sz. Касательные напряжения t имеют два индекса – первый соответствует наименованию оси, перпендикулярной грани, в которой действуют эти напряжения, второй – наименованию оси, параллельно которой они направлены. На невидимых гранях действуют такие же напряжения, как и на видимых, только противоположно направленные.

 Правило знаков. Растягивающие нормальные напряжения s  считаются положительными, сжимающие – отрицательными. Касательные напряжения t положительны, если они стремятся повернуть элементарную частицу по часовой стрелке относительно оси, индекса которой нет в их обозначении.

  Если элементарную частицу произвольным образом вращать относительно рассматриваемой точки, то можно найти такое её положение, когда на её гранях касательные напряжения будут равны нулю. Такие грани-площадки называются главными площадками, действующие на них нормальные напряжения – главными напряжениями, направления, по которым действуют главные напряжения, – главными направлениями. Главные напряжения обозначают s1, s2, s3 в соответствии с соотношением s1 ³ s2 ³ s3, понимаемым в алгебраическом смысле.  s1 = smax, а s3 = smin cреди нормальных напряжений, действующих на гранях исходной частицы при её произвольном положении. Значения главных напряжений используются при определении степени опасности напряженного состояния. В зависимости от конкретного характера внешней нагрузки одно или два главных напряжения в рассматриваемых точках могут равняться нулю.

 По количеству главных напряжений, отличных от нуля, различают три вида напряженного состояния: объёмное, плоское и линейное.

  Объёмное – все три главных напряжения отличны от нуля. Возникает в местах контактирования деталей или приложения нагрузок.

 Плоское – два главных напряжения отличны от нуля. В брусе плоское напряженное состояние возникает при кручении и совместном действии кручения с изгибом или растяжением-сжатием.

 Линейное – одно из главных напряжений отлично от нуля. Возникает в брусе при растяжении-сжатии, при чистом изгибе и в опасных точках при поперечном изгибе.

 При линейном напряженном состоянии главное напряжение действует в поперечном сечении и определяется по соответствующим формулам сопротивления материалов. Расчеты на прочность при объёмном напряженном состоянии не входят в программу нашего курса. Рассмотрим, как определяются главные напряжения при плоском напряженном состоянии.

 В общем случае плоского напряженного состояния главные напряжения, отличные от нуля, определяются по формуле

.

(3.13)

Направление s1 по отношению к sх определяется формулой

.*

(3.14)

В литературе известна другая формула, определяющая направление одного из главных напряжений по отношению к sх

.

(3.15)

Однако применение формулы (3.15) менее удобно из-за того, что заранее не известно, направление какого главного напряжения из двух, отличных от нуля определяется углом a0.

Примечание. Все значения напряжений в формулы (3.13, 3.14, 3.15) должны подставляться с учетом их знаков.


Так как при плоском напряженном состоянии все напряжения действуют в одной плоскости, то можно изображать только одну проекцию исходной частицы, так как показано на рис. 12. Здесь sх – положительно, sу и tху – отрицательны.

Рис. 12


При совместном кручении и изгибе бруса или кручении с растяжением-сжатием в опасных точках бруса всегда возникает частный случай плоского напряженного состояния, схема которого изображена на рис. 13.

Рис. 13

* Формула введена автором

Здесь s и t – напряжения определенные в опасной точке поперечного сечения по формулам сопротивления материалов. Такое напряженное состояние называется упрощенным плоским. В этом случае формулы (3.13, 3.14) значительно упрощаются

.

(3.13а)

.*

(3.14а)

Примечание. Формула (3.14а) дает угол между направлением s и направлением s1, для этого в формулу подставляют t со знаком, который оно имеет в площадке, где действует s.

 Очевидно, что для каждой новой комбинации нормальных и касательных напряжений будут новые сочетания главных напряжений. Получение опытным путем предельных напряжений для каждого их сочетания практически невозможно. В связи с этим оценка прочности не может быть выполнена сравнением расчетных значений главных напряжений с их предельными значениями, поэтому при записи условия прочности конкретное плоское (или объемное) напряженное состояние заменяется эквивалентным ему по степени опасности напряжением, при простом растяжении (sэкв). sэкв определяется расчетным путем по известным значениям главных напряжений на основе обоснованного критерия теории наступления предельного состояния.

 В настоящее время в инженерных расчетах используется в основном пять различных теорий прочности: 1-я и 2-я теории применяются для расчета деталей, изготовленных из хрупких материалов (чугун, стекло, бетон, кирпич и т.д.); 3-я и 4-я – для расчета деталей, изготовленных из пластичных материалов (сталь, цветные металлы и т.д.); 5-я теория – универсальная, может применяться для расчета деталей как из хрупких, так и из пластичных материалов. Для нас наибольший интерес представляет 3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений) и 4-я (теория октаэдрических касательных напряжений), в соответствии с которыми

* Формула введена автором

.

(3.16)

.

(3.17)

Для упрощенного плоского напряженного состояния sэкв можно выразить через напряжения в поперечном сечении.

.

(3.18)

.

(3.19)

Для бруса круглого (сплошного и кольцевого) поперечного сечения при совместном действии кручения и изгиба sэкв в опасной точке можно выразить ещё проще

.

(3.20)

.

(3.21)

Условия прочности при использовании любой теории прочности выражаются зависимостью

,

(3.22)

где [s] – допускаемое напряжение при растяжении.

 При необходимости определения максимальных касательных напряжений их определяют по формуле

,

(3.23)

справедливой для любого вида напряженного состояния.

 Деформированным состоянием в точке называется совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих во всевозможных площадках, проходящих через точку. Напряженное и деформированное состояния имеют полную смысловую и математическую аналогию. Аналогом нормальных напряжений s являются относительные линейные деформации e, аналогом касательных напряжений являются угловые деформации g. По главным направлениям действуют главные деформации e1, e2, e3. Любая формула для деформированного состояния может быть получена из аналогичной формулы для напряженного состояния, если в ней компоненты тензора напряжений заменить компонентами тензора деформаций.

 Напряжения и деформации характеризуют один и тот же процесс – процесс деформирования твердого тела приложенными к нему нагрузками – напряжения с силовой стороны, деформации с геометрической. В связи с этим между ними существует зависимость, которая называется обобщенным законом Гука. Приведем математическое выражение закона Гука, связывающее главные напряжения и главные деформации при плоском напряженном состоянии для случая, когда s2 = 0:

(3.24)

Здесь Е – модуль упругости, m – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

 

 

Алгоритм решения задачи К 3.3

 1. Написать условие задачи, вычертить схему напряженного состояния.

 2. По формуле (3.13) или (3.13а) вычислить главные напряжения и их направления по формулам (3.14) или (3.14а) и (3.15). Указать на схеме напряженного состояния направления главных напряжений и угол a0.

 3. По формуле (3.23) вычислить tmax.

 4. По формулам (3.16) и (3.17) или (3.18) и (3.19) вычислить   и .

 5. По формулам (3.24) вычислить e1, e2, e3.

3.4.3. Алгоритм решения задачи К 3.4

 1. Написать условие задачи, исходные данные, вычертить схему вала.

  2. По заданным мощности и угловой скорости вращения определить крутящий момент, передаваемый валом.

Исходя из равенства М на шкивах D1 и D2 определить значения сил Р1 и Р2.

 , отсюда .

 3. Изобразить расчетную схему вала. При этом силы Р1 и Р2 и создаваемые ими моменты относительно оси вала прикладываются к оси вала в месте расположения шкивов D1 и D2.

 Для удобства построения эпюр и выполнения дальнейших расчетов желательно согласовать значения сил Р1 и Р2, например: меньшую силу (Р1) обозначить как Р, тогда большая (Р2) будет равна .

 Опоры вала, изображенные в задании, необходимо заменить эквивалентными им по числу связей и их направлению шарнирными опорами, так как опоры валов всегда конструируются таким образом, что реактивные моменты в них не возникают.

 4. Построить эпюры внутренних силовых факторов (Мх, Му, Мк).

 5. Анализируя построение эпюры, определить наиболее опасное сечение. Опасными будут сечения, в которых один или несколько внутренних силовых факторов имеют максимальное (по модулю) значение. В схемах к задаче К3.4 опасные сечения будут на участке между шкивами D1 и D2, т.е там, где Мк ¹ 0. Наиболее опасным сечением будет то, в котором больший результирующий изгибающий момент.

.

 6. Исходя из условия прочности в опасном сечении найти необходимый диаметр вала. По третьей теории прочности с учетом формул (3.20) и (3.22) и того, что ,

.

(3.25)

По четвертой теории прочности аналогично

.

(3.26)

 7. Определить перемещение f оси вала в месте расположения шкива D2 и направление этого перемещения

.

(3.27)

Здесь fx и fy – перемещения по оси х и у соответственно, которые определяются методом Мора с использованием способа Верещагина. Угол, определяющий направление f по отношению к оси х, находится по формуле

.

(3.28)

fx и fy в формулу (3.28) подставляют с учетом знаков. Перемещения, направленные в сторону положительного направления соответствующей оси, считаются положительными, иначе отрицательными.

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример 18. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда   или .

Пусть х=-1, тогда   или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай 2. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 19. Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю   соответствует сумма двух дробей:


Лабораторный практикум по сопромату