Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Пример 2

 Для рамы определить допускаемое значение интенсивности равномерно распределенной нагрузки [q].

  Исходные данные: [s] = 160 МПа, M = ql2, l = 3 м, поперечное сечение – двутавр № 20.

 Решение

  Расчетная схема рамы статически неопределима.

1. Раскрываем статическую неопределимость.

Определяем степень статической неопределимости.

L = Cо – Cн = 5 – 3 = 2.

Общее число связей Cо, наложенных на раму, равно 5 (три в опоре А и две в опоре В).

Так как рама плоская, то число связей, необходимых для ее равновесия, Сн = 3.

 Выбираем основную систему.

  Для этого раму освобождаем от всей нагрузки и связей в опоре В. Полученная ОС дана на рис. 8б.

 Переходим к эквивалентной системе.

 Для этого ОС нагружаем заданной нагрузкой и неизвестными силами X1, X2 в точке В взамен отброшенных связей. Полученная таким образом ЭС дана на рис. 8в.

Записываем систему канонических уравнений.

Для дважды статически неопределимой стержневой системы она имеет вид

Вычисляем коэффициенты системы канонических уравнений.

Для этого строим грузовую Мр (рис. 8г) и единичные М1 и М2 (рис. 8д,е) эпюры.

Перемножая единичные эпюры по формуле (3.3а), вычисляем коэффициенты при неизвестных

  Перемножая грузовую эпюру с единичными по формуле (3.3а), вычисляем  и .

Примечание.  получены со знаком «минус», так как перемножаемые эпюры лежат по разные стороны от базовой линии.

 Решаем систему уравнений.

  Все коэффициенты сокращаем на общий множитель l3/EIx и подставляем в исходную систему уравнений.

 

Из второго уравнения выразим Х1:

  (*)

и подставим его в первое уравнение

  .

Отсюда .

Найденное значение Х2 подставляем в выражение (*) и находим Х1.

 .

 Проверим правильность решения системы уравнений. Для этого Х1 и Х2 подставим в одно из уравнений исходной системы, например во второе

 ,

и убедимся, что система уравнений решена верно.

  Строим суммарную эпюру изгибающих моментов Мсум.

 Воспользуемся для этого способом сложения эпюр по формуле (3.12)

  .

Границы участков обозначим буквами А, В, С, D (рис. 8в). Будем считать положительными ординаты эпюр, отложенные на горизонтальном стержне вверх, на вертикальном влево (рис. 9).

 I участок

Подпись: Рис. 9
Точка В: Мсум = 0 .

Точка D: Мсум = .

 II участок

Точка D: Мсум = .

Точка С: Мсум = .

 III участок:

Точка С: Мсум = .

Точка А: Мсум = .

 На участке I на эпюре Мсум возможен экстремум, так как здесь имеется равномерно распределенная нагрузка. Для выяснения этого изобразим схему нагружения участка (рис. 10), запишем выражение для Q и приравняем его нулю.

 ,

откуда .

Подпись: Рис. 10Так как находится внутри участка I, то на эпюре Мсум будет экстремум.

.

Примечания:

Экстремум на эпюре Мх будет в том случае, если zэкс больше 0 и меньше длины участка.

При записи выражения для Мэкс следует соблюдать принятое правило знаков. Если внешний силовой фактор (Р, М, q) изгибает отсеченную часть относительно сечения в сторону знака «+», то момент от этого фактора записывают со знаком «+», иначе – со знаком «–».

По вычисленным значениям Мсум в соответствии с принятым правилом знаков строим эпюру Мсум (рис. 8ж).

Примечание. Студенты при выполнении контрольной работы могут строить эпюру Мсум любым способом.

 Выполняем деформационную проверку.

 Выбираем другую основную систему (что не обязательно, но желательно), убирая 2 связи в опоре А. Вместо отброшенной горизонтальной связи прикладываем единичную силу . Строим от ее действия эпюру  (рис. 8з). Эпюру Мсум перемножаем на эпюру   по формуле (3.5):

 

.

Итак, все действия по построению эпюры Мсум выполнены правильно.

3. Определяем [q].

Условие прочности

  (взято с эпюры Мсум).

 Wx = 184 см3 (по сортаменту для двутавра № 20).

Тогда

 .

Отсюда

  Н/м =6,1 кН/м.

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример 18. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда   или .

Пусть х=-1, тогда   или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай 2. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 19. Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю   соответствует сумма двух дробей:


Лабораторный практикум по сопромату