Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок поменять любой антифриз смогут здесь

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ПРОВЕРКЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Данный цикл составляют работы, посвященные проверке теоретических формул для расчета напряжений и перемещений сечений в образцах при прямом изгибе, внецентренном растяжении или сжатии, изгибе с кручением и при продольном изгибе стержня.

11.1. Исследование нормальных напряжений в сечениях балки при прямом изгибе

Целью испытания является проверка теоретических формул для расчета нормальных напряжений при прямом изгибе стальной балки.

11.1.1. Применяемые машины и приборы


Во-первых, в данной работе может быть использована любая из испытательных машин, описанных в п. 10.1.1, и приспособленных для испытаний балок на изгиб. Во-вторых, могут использоваться специальные установки различных типов, описание которых приводится ниже.

Схема одной из таких установок дана на рис. 11.1.1. Как видно из схемы, рабочая часть этой установки представляет собой защемленную одним концом балку (консоль) прямоугольного поперечного сечения. Опора обеспечивает жесткое закрепление одного конца балки. Нагружение балки осуществляется приложением сосредоточенного груза, который можно перемещать вдоль ее оси. 

Схема другой установки на изгиб показана на рис. 11.1.2. На станине укреплены болтами две опоры. Ослабив болты, можно перемещать опоры вдоль станины, изменяя при этом величину пролета балки. Нагружение балки производится одним или двумя сосредоточенными грузами, которые могут быть приложены в любом сечении балки.

При выполнении данной работы применяются штангенциркуль, рычажные тензометры, линейки и, при необходимости, стрелочные индикаторы.

11.1.2. Содержание работы

Содержание и объем данной работы может регулироваться преподавателем в зависимости от числа лабораторных установок, количества учащихся в группе и т.п. Здесь рассматривается вариант, когда выполняются испытания на изгиб трех различно нагруженных балок.

Первая балка (расчетная схема ее показана на рис. 11.1.3) испытывает в средней части так называемый «чистый изгиб», при котором в поперечных сечениях этой части балки действуют лишь внутренние изгибающие моменты, а поперечных сил нет (эпюры Q и М на рис. 11.1.3).

Вторая балка, показанная на рис. 11.1.4, нагружается сосредоточенной силой в середине полета. В поперечных сечениях, лежащих в пролете этой балки, действуют как изгибающие моменты, так и поперечные силы (эпюры Q и М на рис. 11.1.4).


Третья балка, показанная на рис. 11.1.5, представляет собой консоль, нагруженную на свободном конце сосредоточенной силой.

На поверхности испытываемых балок в отдельных сечениях устанавливаются с помощью струбцин рычажные тензометры, c помощью которых определяются продольные деформации. В данном случае определяются деформации крайних (наиболее удаленных от нейтрального слоя) волокон сечений.

Нормальные напряжения на основании опытных данных определяются с помощью закона Гука σ = Еε.

Обычно модуль упругости Е материала испытываемой балки известен и остается определить в опыте относительные деформации ε. При коэффициенте увеличения тензометров k и базе Б относительная деформация определится по формуле

где Δ – разность отсчетов по шкале тензометра. Определяемые из опыта деформации и напряжения относятся к точке, расположенной в середине базы тензометра. Это необходимо учитывать и при установке тензометров, и в расчетах.

Первые отсчеты по приборам делаются при начальном нагружении балок. В дальнейшем нагрузку увеличивают равными ступенями, при каждом нагружении производят отсчеты по приборам и вычисляют приращения. По средним приращениям деформаций вычисляют приращения напряжений. Напряжения, полученные в опыте, сопоставляют с вычисленными теоретически. Поскольку в опыте напряжения определяются для крайних волокон, при вычислении теоретических значений напряжений вместо формулы σ = Му/Iz следует использовать формулу

где М – изгибающий момент в данном сечении балки; Iz – осевой момент инерции сечения балки; Wz – осевой момент сопротивления сечения балки; y – расстояние от исследуемой точки до нейтрального слоя балки.

Для сравнения величин нормальных напряжений, полученных расчетом и опытным путем, рассчитывается расхождение η между ними в процентах к теоретическим значениям

Под схемами нагружения балок в журнале работ вычерчиваются эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с указанием на них соответствующих числовых значений в принятой размерности.

11.1.4. Порядок выполнения работы

В каждом из опытов ознакомиться с установкой и занести в журнал работ размеры испытываемых балок, места расположения тензометров и их характеристики.

Поочередно нагрузить балки начальной нагрузкой и записать соответствующие отсчеты приборов.

Равными ступенями увеличивать нагрузку, записывая при этом показания приборов.

Снять нагрузку и сверить показания всех приборов с первоначальными. При значительном расхождении показаний опыт повторить.

Определить разности отсчетов приборов и найти их средние значения. На основании опытных данных определить средние приращения напряжений в выбранных местах балки.

Произвести теоретический расчет этих же величин. Для этого вначале построить эпюры Q и М для всех схем нагружения балок и вычислить приращения напряжений для тех же точек балок по формулам сопротивления материалов.

Вычислить расхождения в процентах между расчетными и опытными данными.

11.1.4. Пример обработки опытных данных


Здесь приводится пример обработки опытных результатов лабораторной работы для одной из возможных схем нагружения балки на специальной установке. Схема испытательной установки и поперечное сечение балки показаны на рис. 11.1.6, а, б.

Геометрические и механические характеристики балки:

 Длины участков: l = 60 см; l2 = 50 см; l1 = 30 см.

 Размеры поперечного сечения:  ширина b = 2,5 см; высота h = 1,5 см.

 Осевой момент сопротивления: 

 Модуль упругости материала балки (сталь):  Е = 2ּ105 МПа.

Характеристики тензометров:

 Коэффициент увеличения:  k1 = 1000, k2 = 1000.

 База: Б1 = 20 мм, Б2 = 20 мм.

Таблица наблюдений

Нагрузка

F, Н

Приращение

нагрузки  ΔF, Н

Показания тензометров

n1, мм

Δ n1, мм

n2, мм

Δn2, мм

30

26,0

27,0

60

30

27,1

1,1

28,5

1,5

90

30

28,0

0,9

30,0

1,5

Средние приращения показаний тензометров:

Δn1,ср = 1,0 мм; Δn2,ср = 1,5 мм.

Относительные деформации:

 

Приращения напряжений на интервале нагрузки ΔF = 30 Н, полученные из опыта

Теоретический расчет напряжений

Расчетная схема балки и эпюры Q и М показаны на рис. 11.1.7.

Приращения напряжений на интервале нагрузки ΔF = 30 Н определим по формулам

Расхождение опытных и расчетных результатов:

11.2. Определение линейных и угловых перемещений

поперечных сечений статически определимой балки

Целью испытания является определение экспериментальным путем величин прогибов и углов поворота некоторых сечений балки и сравнение полученных величин перемещений с их теоретическими значениями.

11.2.1. Применяемые машины, установки и приборы

В данной лабораторной работе могут быть использованы испытательные машины, описанные в п. 10.1.1 и приспособленные для испытаний на изгиб, и специальные установки для опытов на изгиб, описанные в п. 11.1.1. Кроме того, применяются специальные установки, схемы которых показаны на рис. 11.2.1 и 11.2.2.

Сравнительно гибкая балка, обычно прямоугольного сечения, в одном случае опирается на две опоры, укрепленные на неподвижной станине (рис. 11.2.1), в другом случае – является консолью (рис. 11.2.2). В схеме, изображенной на рис. 11.2.1, возможно перемещение опор вдоль станины, что позволяет изменять длину пролета и, вообще, схему нагружения балки. В одном или двух сечениях балок с ними жестко соединены тяги. Между осью балки и осями тяг угол прямой.

 С помощью стрелочных индикаторов, касающихся своими штифтами концов указанных тяг, определяются угловые перемещения тех сечений балки, где с ней соединяются тяги. Другие индикаторы, соединенные с балками, позволяют определять линейные перемещения сечений или прогибы. Индикаторы обычно имеют цену деления 0,01 мм и пределы измерений линейных перемещений от 0 до 10 мм.

Нагружение балок осуществляется приложением одного, двух или более сосредоточенных грузов, прикладываемых в разных сечениях.

11.2.2. Содержание работы

Испытание балок в данной работе, так же как и в предыдущей, осуществляется в пределах упругости, без остаточных деформаций.

Первые отсчеты по приборам делают при некотором предварительном начальном нагружении балки. Далее нагрузку увеличивают равными ступенями, при каждом нагружении производят отсчеты по приборам и устанавливают приращения показаний.

Стрелочные индикаторы, штифты которых касаются самой балки, фиксируют линейные перемещения центров тяжести данных сечений, т.е. прогибы. Индикаторы, штифты которых касаются концов тяг, фиксируют линейные перемещения Δ этих концов. Зная эти перемещения и длину тяги r, устанавливают величину тангенса угла ψ (рис. 11.2.1), а с учетом малости деформаций и величину самого угла tgψψ = Δ/r. Это и есть угол поворота сечения балки в месте соединения ее с тягой.

Теоретический расчет линейных и угловых перемещений сечений балки производится по указанию преподавателя любым способом, рассмотренным на предыдущих практических занятиях. Это может быть и метод начальных параметров и метод единичной силы (формула Мора, правило Верещагина). В простейших случаях нагружения балок возможно использование справочных данных.

Для сравнения величин линейных и угловых перемещений, полученных в опытах и расчетным путем, подсчитывается расхождение между ними η в процентах к расчетным значениям:

 

11.2.3. Порядок выполнения работы

Ознакомиться с опытной установкой, занести в журнал работ схему нагружения испытываемой балки, необходимые размеры длин участков и поперечного сечения, указать места расположения индикаторов.

Нагрузить балку начальной нагрузкой и записать соответствующие отсчеты приборов.

Равными ступенями увеличивать нагрузку, записывая в журнал показания приборов.

Разгрузить балку до начальной нагрузки и сверить показания всех приборов с первоначальными. При значительном расхождении опыт повторить.

Определить разности отсчетов приборов и найти их средние значения. На основании опытных данных установить средние приращения линейных и угловых перемещений выбранных сечений балки.

Произвести теоретический расчет этих же величин по формулам сопротивления материалов.

Вычислить расхождения в процентах между расчетными и опытными данными.

11.2.4. Пример обработки опытных данных

Приведем пример обработки опытных результатов лабораторной работы для одной из возможных схем нагружения балки на специальной установке, схема которой показана на рис. 11.2.3.

Геометрические и механические

характеристики балки

– длина балки l = 120 см;

 – длина участка балки а = 30 см;

  – длина тяги r = 35 см;

 – размеры поперечного сечения:

ширина b = 5,0 см; высота h = 0,9 см;

 – осевой момент инерции: 

Iz = bh3/12 = 5ּ0,93/12 = 0,3 см4.

 Материал балки – сталь с модулем продольной упругости Е = 2ּ105 МПа.

 Цена деления прогибомеров – 0,01 мм.

Таблица наблюдений

Нагрузка

F, Н

Приращение

нагрузки  ΔF, Н

Показания прогибомеров, деления

n1

Δn1

n2

Δn2

n3

Δn3

10

79

76

76

20

10

161

82

149

73

152

76

30

10

245

84

228

79

232

80

40

10

324

79

304

76

308

76

Средние приращения показаний индикаторов в делениях шкалы:

Δn1,ср = 81,6; Δn2,ср = 76,0; Δn3,ср = 77,3.

Средние приращения показаний индикаторов в мм:

Δn1,ср = 81,6ּ0,01 = 0,816 мм; Δn2ср = 76ּ0,01 = 0,76 мм;

Δn3,ср = 77,3ּ0,01 = 0,773 мм.

Опытное значение прогиба сечения А балки от нагрузки ΔF = 10 H:

yA on = Δn1,ср = 0,816 мм.

Опытные значения углов поворота торцевых сечений балки от нагрузки ΔF = 10 H:

Теоретический расчет перемещений

Грузовое и единичные состояния балки и эпюры соответствующих изгибающих моментов показаны на рис. 11.2.4. Определим линейные и угловые перемещения при помощи интеграла Мора, используя правило Верещагина: 

= 8,2·10-4 м = 0,82 мм;

 

  Расхождение опытных и расчетных результатов:

11.3. Опытная проверка теории косого изгиба

Целью работы является проверка теоретических формул для расчета напряжений и перемещений при косом изгибе.

11.3.1. Применяемые установки и приборы

Данная лабораторная работа выполняется на специальных установках, аналогичных описанным в п. 11.1.2. В частности, может быть использована показанная на рис. 11.1.6 консольная балка прямоугольного сечения. Для создания условий косого изгиба на этой установке должна быть предусмотрена возможность поворота жесткой заделки вокруг продольной оси испытываемой балки. Нагружение балки, как и ранее, осуществляется приложением сосредоточенного груза к центру тяжести поперечного сечения свободного конца консоли (рис. 11.3.1).

При выполнении работы применяются штангенциркуль, тензометры и стрелочные индикаторы.

11.3.2. Содержание работы

В этом опыте внешняя нагрузка направлена перпендикулярно оси балки и приложена к центру тяжести ее поперечного сечения, но данная деформация является косым изгибом, поскольку плоскость действия нагрузки не совпадает ни с одной из главных плоскостей сечения балки.

Для определения продольных деформаций крайних волокон сечений на балку в соответствующих местах устанавливаются тензометры рычажного типа.

Нормальные напряжения на основании опытных данных, точно так же как и в работе, описанной в п. 11.1, определяются с помощью закона Гука по соотношению σ = Еε.

При коэффициенте увеличения k и базе Б относительная деформация определяется по известной формуле

где Δср – средняя разность отсчетов по шкале тензометра, полученных при загружении балки одинаковыми приращениями нагрузки.

Теоретически нормальные напряжения при косом изгибе определяются по формуле

где Mz и My – изгибающие моменты относительно главных осей z и y сечения; Iz и Iy – осевые моменты инерции поперечного сечения балки относительно тех же осей; z и y – координаты точки поперечного сечения балки, в которой определяется нормальное напряжение.

Для точек сечения, наиболее удаленных от главных осей y и z, формула для нормальных напряжений имеет вид

где Wy и Wz – осевые моменты сопротивления.

Для определения изгибающих моментов Мz и My вертикально приложенную нагрузку (силу F) заменяют ее составляющими Fz и Fy:

Fz = Fsinα, Fy=Fcosα,

откуда Мz = Fyl = (Fcosα)l, Мy = Fz l = (Fsinα)l, где l – расстояние от места установки тензометра до точки приложения силы F.

Полученные из опыта величины приращений напряжений сравниваются с подсчитанными теоретически и определяется расхождение в процентах к теоретическим величинам по формуле

Опытное определение прогиба конца консоли производится при помощи стрелочных индикаторов, один из которых измеряет вертикальную составляющую прогиба, а второй – горизонтальную (рис. 11.3.2). Величина полного прогиба может быть определена по формуле

где fверт и fгор – вертикальная и горизонтальная составляющие прогиба.

Теоретическое значение прогиба, т.е. перемещения центра тяжести сечения, определяется по формуле

где fz и fy – составляющие прогиба по главным центральным осям z и y поперечного сечения (рис. 11.3.3). Составляющие fz и fy полного прогиба fтеор соответствуют прогибам от раздельного действия на балку составляющих Fz и Fy полной нагрузки F и определяются по формулам

 

Угол наклона β линии прогиба f с главной центральной осью y определяется по формуле

Так как Iz  Iy, из последней формулы следует, что βα, т.е. направление прогиба не совпадает с направлением силы F, что является особенностью косого изгиба.

Полученное в опыте среднее значение приращения прогиба сравнивается с рассчитанным теоретически и определяется расхождение в процентах к теоретическому значению по формуле

11.3.3. Порядок выполнения работы

Ознакомиться с установкой и занести в журнал работ размеры испытываемой балки, места расположения тензометров и прогибомеров, угол наклона α главной оси y к горизонтали.

После предварительного нагружения балки записать начальные отсчеты приборов.

Равными ступенями увеличивать нагрузку, записывая при этом отсчеты приборов. Снять нагрузку до начальной и сверить показания всех приборов с первоначальными. При значительном расхождении опыт повторить.

Определить разности отсчетов по приборам и найти их средние значения. Определить средние приращения по каждому прибору и вычислить средние опытные приращения напряжений и прогибов.

Вычислить приращения напряжений и прогибов для тех же точек по формулам сопротивления материалов.

Вычислить расхождения между теоретическими значениями напряжений и прогибов и полученными опытным путем.

11.4. Опытная проверка теории внецентренного растяжения

(сжатия)

Цель работы – опытное определение величин нормальных напряжений при внецентренном растяжении или сжатии стержня и сравнение их с расчетными значениями.

11.4.1. Применяемые машины и приборы

Опыты проводятся на универсальных испытательных машинах, описание которых дано в п. 10.1.1 и др.

Измерение деформаций производится с помощью рычажных тензометров.

11.4.2. Содержание работы

 В работе испытанию на растяжение или сжатие в пределах упругости подвергается образец из заранее выбранного материала.

Ниже рассматривается вариант работы, когда испытанию на растяжение подвергается стальной образец прямоугольного поперечного сечения (рис. 11.4.1), причем нагрузка равными ступенями прикладывается с некоторым эксцентриситетом е по одной оси относительно центра сечения. Рычажными тензометрами Т1, Т2, Т3, располагающимися на стержне так, как показано на рис. 11.4.1, замеряются линейные деформации соответствующих волокон на каждой ступени нагружения образца и определяются опытные относительные деформации εоп тех же волокон по формуле

где Δi,ср – среднее приращение показаний соответствующего тензометра (i= 1, 2, 3) на интервале нагрузки; ki – коэффициент увеличения i-го тензометра; Б – база тензометра.

Затем определяются опытные напряжения в указанных точках стержня с использованием закона Гука:

Теоретические значения нормальных напряжений в тех же точках можно найти, исходя из общей формулы для расчета напряжений при внецентренном растяжении

В рассматриваемом здесь частном случае приложения нагрузки к образцу (рис.11.4.2) имеем:

N = F, My = Fe, Mz = 0.

Если учесть координаты точек 1, 2, 3, где закреплены тензометры Т1, Т2 и Т3, и знак изгибающего момента Мy, то формула для напряжений примет следующий вид:

для точки 1:  

(напряжение от силы F – растягивающее, напряжение от действия момента Мy – сжимающее);

для точки 2: 

(напряжение от действия момента равно нулю, так как ось y в случае изгиба моментом Мy является нейтральной);

для точки 3: 

(напряжения от действия и силы F и момента Мy – растягивающие);

осевой момент сопротивления равен Wy = bh2/6.

После определения опытных и расчетных значений нормальных напряжений их необходимо сравнить между собой и найти расхождение, т.е. определить величины

11.4.3. Порядок выполнения работы

Закрепить образец в захватах испытательной машины и установить на нем три тензометра.

Дать небольшую начальную нагрузку и записать начальные отсчеты по тензометрам.

Произвести ступенчатое нагружение стержня, записывая на каждой ступени показания тензометров.

Разгрузить образец до начальной нагрузки и сверить показания тензометров с первоначальными. При значительном расхождении опыт повторить.

Снять нагрузку с образца и обработать опытные данные, определив напряжения в точках 1, 2, 3.

Подсчитать теоретические значения нормальных напряжений в тех же точках.

Сравнить опытные и теоретические значения напряжений, найдя расхождение в их величине.

11.5. Испытание стальных образцов на продольный изгиб

Цель работы – демонстрация явления потери устойчивости формы стержней; определение величин критических сил при продольном изгибе стержней различных размеров с разным способом закрепления концов и сопоставление установленных в опыте величин критических сил с их значениями, рассчитанными по соответствующим формулам сопротивления материалов.

11.5.1. Применяемые машины, установки и приборы

Испытания на устойчивость стержней могут быть осуществлены, во-первых, на стандартных испытательных машинах. При этом длина образцов определяется высотой рабочего пространства между опорными плитами машины. Характер закрепления концов стержня может быть различным. Например, для осуществления шарнирного опирания концов образца при испытании на стандартной машине и обеспечения центральной передачи сжимающей нагрузки концы испытываемого стержня обрабатываются так, чтобы скошенные плоскости пересекались на его геометрической оси (рис. 11.5.1). С той же целью применяются специальные опорные части, закладываемые между концами образца и опорными плитами машины строго по оси образца. При испытании стержней из мягкой стали на его концы следует укреплять каленые наконечники (рис. 11.5.1). Некоторое сжатие образца или наконечника по линии контакта не сказывается на результатах опыта. По указанной схеме могут проводиться испытания стержней как на упругий, так и на неупругий продольный изгиб.

Во-вторых, для испытаний на устойчивость стержней может быть использована установка, называемая прибором Михаэлса, схема которого показана на рис. 11.5.2. Испытываемый образец 1 одним концом 2 соединен с неподвижной опорой, другим 3 – с рычагом 4, который, в свою очередь, тягой 5 соединен с другим рычагом 6. К рычагу присоединена подвеска с грузом 7 и противовес 8. Сжимающее усилие на образец передается грузом 7 через систему рычагов 4-5-6. Величина сжимающей силы определяется весом груза 7 и соотношением плеч рычагов 4 и 6.

В-третьих, испытание на устойчивость может проводиться на специальной демонстрационной установке (рис. 11.5.3), которую можно изготовить в лаборатории. Она состоит из испытываемого стержня 1 с жестко прикрепленной к нему пятой, опирающейся на станину 3 при помощи винтов 4.

Винты служат для установки стержня в вертикальное положение, которое потом проверяется по отвесу 5, подвешенному на крючок. Для передачи нагрузки на стержень служит коромысло 6 с двумя тягами 7, к которым при помощи перекладины 8 подвешен поддон 9 для укладки гирь. Тяги пропущены сквозь прорези в пяте и в доске станины. Эти прорези позволяют тягам перемещаться вместе с верхним свободным концом стержня при его изгибе.

Имеются и другие установки для испытаний стержней на устойчивость. В работе используется линейка, штангенциркуль, тензометры коленчато-рычажного типа и индикатор часового типа.

11.5.2. Содержание работы

Деформация продольного изгиба стержня может протекать как в упругой стадии, когда критическое напряжение не превышает предела упругости материала, так и в пластической стадии, когда критическое напряжение превышает предел упругости. Величина критической силы рассчитывается в этих случаях по-разному.

В случае упругого продольного изгиба критическая сила рассчитывается по формуле Эйлера (6.1), которая применима, если выполняется условие (6.5). Например, для малоуглеродистой стали Е = 2·105 МПа, σy = 2·102 МПа и λсr = 100. Значения λсr для различных материалов приведены в табл. 6.1.1.

В случае неупругого продольного изгиба, когда λ < λсr, можно использовать эмпирическую формулу Ф. Ясинского (6.6).

В соответствии со сказанным лабораторная работа может состоять из опытов на продольный изгиб стержней с различным закреплением концов как в пределах упругости, так и за пределами упругих деформаций.

Рассмотрим вариант работы, состоящей из 4 опытов.

В первом эксперименте, проводимом, например, на испытательной машине ГМС–20, испытанию на сжатие подвергается стальной образец круглого поперечного сечения (рис. 11.5.4) с шарнирным опиранием концов (μ = 1). На образце устанавливается спаренный агрегат из двух тензометров коленчато-рычажного типа. В начальной стадии нагружения стрелки тензометров расходятся в разные стороны, показывая равномерное сжатие. В момент потери устойчивости стрелка одного тензометра останавливается, в то время как другая стрелка движется в первоначальном направлении. Одновременно на записывающем устройстве машины фиксируется диаграмма сжатия. На диаграмме потеря устойчивости стержня характеризуется горизонтальным участком.

Во втором опыте, проводимом, например, на приборе Михаэлса, испытанию на сжатие подвергается образец круглого или прямоугольного поперечного сечения с одним шарнирным и другим жестким закреплением концов (μ = 2/3). Вблизи образца укрепляется индикатор, касающийся его поверхности своим штифтом. Момент потери устойчивости стержня фиксируется по резкому изменению в показаниях индикатора (его стрелки сделают несколько оборотов).

В третьем опыте, который проводится на установке, показанной на рис. 11.5.3, изучается процесс потери устойчивости стержня с одним защемленным и одним свободным концами (μ = 2).

Четвертый опыт проводится по схеме первого, однако стержень подбирается средней гибкости. Например, берется стержень с гибкостью в пределах от 55 до 70. В этом случае, как уже отмечалось, потеря устойчивости будет происходить при пластическом деформировании стержня.

Во всех опытах устанавливается величина сжимающей силы, соответствующая потере устойчивости стержня, и сравнивается с рассчитанной по необходимой формуле критической силой.

11.5.3. Порядок выполнения работы

Первый опыт

Снять необходимые геометрические размеры образца.

Установить образец в приспособление (рис. 11.5.1), которое поместить затем между опорами испытательной машины.

Производить медленное нагружение, непрерывно наблюдая за тензометрами, диаграммой нагружения и поведением стержня.

Установить величину максимальной силы сжатия, соответствующей внезапному искривлению оси стержня. Разгрузить стержень.

Подсчитать гибкость стержня, выбрать необходимую формулу и по ней вычислить критическую силу.

Сравнить опытные и расчетные результаты.

Второй опыт

После обмера образец вставить между опорами прибора Михаэлса и нагружать постепенно равными ступенями.

Вести наблюдение за поведением стержня и показаниями индикатора.

Зафиксировать величину силы сжатия, при которой резко изменяются показания индикатора. Разгрузить стержень.

Подсчитать гибкость стержня, выбрать необходимую формулу и по ней вычислить критическую силу.

Сравнить опытные и расчетные результаты.

Третий опыт

Выверить по отвесу вертикальное положение стержня.

На поддон поставить некоторый груз и проверить устойчивость стержня (отклоненный от вертикали и представленный самому себе стержень должен возвратиться к исходному положению).

Увеличивать сжимающую силу, добавляя грузы и проверяя каждый раз устойчивость стержня.

Установить критическое состояние стержня, при котором он после отклонения от вертикали не возвращается к исходному положению.

Определить опытное значение критической силы и разгрузить стержень.

Подсчитать гибкость стержня, выбрать необходимую формулу и по ней вычислить критическую силу.

Сравнить опытные и расчетные значения критической силы.

Четвертый опыт

Снять необходимые размеры образца и установить его для испытания, как в первом опыте.

Произвести медленное нагружение стержня с непрерывным наблюдением за показаниями тензометров и поведением стержня. Если длина стержня не позволяет установить на нем тензометры, то наблюдение вести за стрелкой силоизмерителя.

 В последнем случае момент потери устойчивости фиксируется по прекращению нарастания нагрузки на силоизмерителе. Опытное значение критической силы фиксируется контрольной стрелкой силоизмерителя.

Разгрузить искривленный стержень.

Подсчитать гибкость стержня, выбрать необходимую формулу и по ней вычислить критическую силу.

Установить расхождение между вычисленной и опытной величинами критической силы.

11.6. Испытание стальной трубы на изгиб с кручением

Целью работы является проверка экспериментальным путем теоретических формул для расчета главных напряжений и положения главных площадок при изгибе с кручением стальной трубы, а также знакомство с электрическим методом измерения деформаций.

11.6.1. Применяемая установка и приборы

Экспериментальная установка представляет собой испытываемый образец в виде тонкостенной трубы, жестко прикрепленной одним концом к станине рис. 11.6.1). К другому, свободному, концу трубы прикреплена поперечина, через которую на образец передается нагрузка. К одному концу поперечины груз прикладывается непосредственно, к другому – через блок. При различных величинах грузов на концах поперечины трубчатый образец испытывает деформацию изгиба с кручением.

 В данной работе для измерения деформаций трубы применяется электротензометрический метод, в котором используются зависимости между деформацией тела и какой-либо величиной, измеряемой электроприборами: омическим сопротивлением, силой тока, емкостью и т.п. В электрических тензометрах различают две основные части. Одна из них, называемая датчиком, закрепляется на испытываемом образце, деформируется вместе с ним и преобразует изменение линейных размеров образца в изменение некоторой электрической величины. Вторая часть, обычно удаленная от датчика, но соединенная с ним проводами, предназначается для фиксирования указанного изменения электрической величины. Это – регистрирующее устройство.

Электрические тензометры имеют ряд преимуществ по сравнению с механическими.

Во-первых, ничтожный вес и малые размеры тензодатчика позволяют использовать его как на образцах, так и на конструкциях. Во-вторых, один и тот же регистрирующий прибор может быть присоединен к нескольким датчикам, т. е. может производиться многоточечное тензометрирование. В-третьих, тензодатчики ввиду их почти полной безынерционности могут с успехом использоваться не только при статических испытаниях, но и при динамических (колебания, волновые процессы и др.).

Наибольшее распространение в экспериментальных исследованиях получил проволочный датчик сопротивления рис. 11.6.2. Чувствительным элементом датчика является тонкая калиброванная проволока 2 диаметром 0,015–0,05 мм, изготовленная чаще всего из сплава – константана. Проволока уложена петлями на тонкую бумагу 1 толщиной около 0,01 мм и приклеена к ней клеем. При деформировании образца проволока датчика меняет свою длину и площадь поперечного сечения, в результате чего меняется ее омическое сопротивление. Относительное изменение омического сопротивления датчика ΔR/R пропорционально его относительной деформации Δl/l, т.е.

где R – сопротивление датчика до деформации; ΔR – приращение сопротивления при деформации; m – чувствительность датчика, равная

Для измерений собирается электрическая схема по принципу моста сопротивления (рис. 11.6.3). На этой схеме R1 – активный датчик, R2 – компенсационный датчик (температурная компенсация), причем R1R2. Компенсационный датчик наклеивается на такой же материал, что и активный датчик, и находится в таких же температурных условиях. Сопротивления R3 и R4 – третье и четвертое плечи моста. На рис. 11.6.3 также показаны И – источник питания (напряжение 4–8 В), Г – чувствительный гальванометр, R5 – сопротивление балансировки моста (реохорд). Схема должна балансироваться при выключенном сопротивлении R5 , т.е. стрелка гальванометра должна стоять на нуле. Если вследствие деформации  образца, на который наклеен активный датчик, сопротивление R1 изменится, то баланс моста нарушится и стрелка гальванометра отклонится. Коэффициент m обычно лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Для датчика из константана с базой 15 мм и более m2. Перед работой датчик должен быть протарирован, т.е. должно быть установлено соответствие между деформацией образца (и датчика) и показаниями прибора, регистрирующего электрические сигналы.

Для тарирования проволочных датчиков часто используют балку равного сопротивления изгибу. При постоянной высоте сечения h балки прямоугольного сечения деформация продольных волокон верхней или нижней поверхности определяется формулой

ε = My/(EIz).

В консольной балке, показанной на рис. 11.6.4, изгибающий момент возрастает по линейному закону от нуля (в точке приложения силы) до максимального значения в заделке. Если по такому же закону будет меняться жесткость балки EIz, то относительная деформация ε будет одинакова во всех точках верхней или нижней поверхности балки.

Наклеив в какой-либо точке (например, верхней) поверхности балки датчик R1 и обеспечив температурную компенсацию с помощью сопротивления R2 , рядом с датчиком R1 помещают механический тензометр, например рычажного типа. Мост балансируется с помощью сопротивления R5, как отмечалось выше.

Затем балка нагружается, что вызывает нарушение баланса моста и смещение стрелки гальванометра на несколько делений. Одновременно по рычажному тензометру определяется соответствующая деформация балки. Затем нагрузку изменяют, и вся процедура повторяется до нового значения деформации. В результате устанавливается соответствие между ценой деления гальванометра и величиной соответствующей относительной деформации. Можно шкалу гальванометра протарировать в механических напряжениях, сопоставляя показания прибора с величиной напряжения в данной точке от соответствующей нагрузки, приложенной к тарировочной балке.

11.6.2. Содержание работы

Заранее в выбранной точке на поверхности образца – тонкостенной трубы – наклеиваются три проволочных датчика сопротивления, составляющих розетку по схеме, приведенной на рис. 11.6.5.

Пунктирная линия на этом рисунке показывает направление действия максимального главного напряжения σ1.

Экспериментально величины главных напряжений σ1 и σ2 в данной точке образца определяются через главные деформации ε1 и ε2 , которые в свою очередь устанавливаются через деформации в направлении осей x, y и u. Главные деформации могут быть подсчитаны по формулам

Угловая деформация γxy может быть выражена через линейные деформации εx, εy и εu. Для этого может быть использована формула

Полагая, как в нашем случае, β = 45о, получим  откуда  Подставляя эту величину в формулы для ε1 и ε2 и проведя преобразования, получим

Таким образом устанавливаются величины главных деформаций ε1 и ε2 по значениям εx , εy и εu, определенным с помощью тензодатчиков. Затем на основе закона Гука для двухосного напряженного состояния устанавливаются опытные значения главных напряжений σ1 и σ2:

 

Положение главных площадок определится по формулам

  или

Угол γ между нормалью к сечению трубы и нормалью к главной площадке с напряжением σ1 определится (см. рис. 11.6.5) из выражения

Теоретические значения ,и γтеор рассчитываются следующим образом. Вычисляем: крутящий момент  где Fлев и Fпр – грузы на левом и правом концах поперечины, lлев и lпр – расстояния от приложенных грузов до оси трубчатого образца; изгибающий момент  где l – расстояние от поперечины до сечения, где наклеены датчики; касательное напряжение от кручения на внешнем контуре трубы ; нормальное напряжение изгиба   Теоретические значения главных напряжений и угла, определяющего положение главных площадок, вычисляются по известным формулам

 

Далее устанавливается расхождение в процентах опытных и теоретических значений σ1 , σ2 и γ.

11.6.3. Порядок выполнения работы

Ознакомиться с экспериментальной установкой и занести в журнал работ размеры и некоторые другие характеристики испытываемого трубчатого образца: наружный и внутренний диаметры, плечи lлев и lпр, расстояние l от места приложения силы до сечения, где наклеены тензодатчики, полярный и осевой моменты сопротивления сечения, модуль упругости Е и коэффициент Пуассона ν, угол наклона β двух тензодатчиков к продольной оси образца (третий датчик находится в поперечном сечении).

Произвести тарировку тензодатчиков, например, при помощи балки равного сопротивления изгибу.

После предварительного нагружения трубчатого образца записать начальные показания трех электротензометров по регистрирующему прибору. Равными ступенями увеличивать нагрузку на образец, записывая при этом показания прибора.

Определить приращения показаний по прибору от каждого тензодатчика и их средние значения.

Установить, используя результаты тарировки, средние значения деформаций в направлении наклеенных тензодатчиков розетки.

Определить опытные значения приращений главных напряжений в данной точке, соответствующих выбранной ступени нагружения, и углов наклона главных площадок к поперечному сечению образца.

Вычислить теоретические значения приращений главных напряжений в той же точке образца через приращения нормальных напряжений изгиба и касательных напряжений кручения,

 соответствующих той же ступени нагружения образца. Вычислить через приращения нормальных и касательных напряжений углы наклона главных площадок к поперечному сечению трубы.

Вычислить расхождения в процентах между теоретическими значениями напряжений и углов и значениями тех же величин, полученными опытным путем.

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример 1.

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

Пример 2.

При интегрировании использованы тождественные преобразования подынтегральной функции, правила 2 и 3, табличная формула 2.


Лабораторный практикум по сопромату