Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок Заказ такси недорого из аэропорта шереметьево taxigalaxy.ru.

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Определение модуля продольной упругости и коэффициента Пуассона

Целью работы является опытная проверка закона Гука при растяжении, определение модуля продольной упругости Е и коэффициента Пуассона ν стали и ознакомление с устройством и работой тензометров.

10.2.1. Применяемые машины и приборы

Для проведения испытаний образцов используются, в частности, те же испытательные машины, что и в предыдущей лабораторной работе (см. раздел 10.1.1.).

Для замера линейных деформаций образцов в данной лабораторной работе целесообразно использовать специальные измерительные приборы – механические тензометры коленчато-рычажного и рычажного типов. При помощи этих приборов определяют с высокой степенью точности малые деформации образцов, причем показания снимаются визуально.

Рабочая схема тензометра коленчато-рычажного типа изображена на рис. 10.2.1. Прибор состоит из планки 2, прижимаемой к поверхности образца 1 при помощи струбцины. На одном конце планки имеется нож 3, жестко скрепленный с планкой, а на другом – нож 4, прикрепленный к планке при помощи шарнира. Расстояние между остриями ножей является базой прибора Б = l. При изменении длины l на величину Δl нож 4 поворачивается вокруг шарнира. На тот же угол повернется стержень 5, соединенный жестко с ножом и представляющий собой одно из плеч коленчатого рычага, состоящего из частей 4 и 5. Перемещение нижнего конца стержня 5 на величину ΔS дает увеличение деформации Δl в k1 = ΔS/Δl раз. Нижний конец стержня 5 соединен шарнирно при помощи тяги 6 со стрелкой 7. Перемещение нижнего конца стержня 5 на величину ΔS вызовет поворот стрелки 7 вокруг еще одного шарнира и перемещение конца стрелки по шкале 8 на величину ΔВ с отсчета В1 на отсчет В2. Разность отсчетов ΔВ больше, чем перемещение ΔS в k2 = ΔВ/ΔS = R/r раз. Коэффициент увеличения прибора, следовательно, будет равен k = ΔВ/Δl = k1k2 = RD/rd. Тензометры данного типа чаще всего изготавливаются с базой 100 мм и имеют коэффициент увеличения 500. Деления шкалы нанесены через 1мм.

 Для повышения точности отсчетов шкала снабжена прорезью с зеркалом. Вращением винта 9 в начале опытов стрелка 7 устанавливается в нужное положение, которое подсказывается характером ожидаемой деформации – растяжение или сжатие. При снятии отсчетов нужно располагать глаз так, чтобы острие стрелки совпадало с его изображением в зеркале; тем самым исключается параллакс. Для более точного определения деформации тензометры крепятся на противоположных сторонах образца попарно, т.е. прибор представляет собой спаренный агрегат, состоящий из двух одинаковых систем (рис. 10.2.2). При одновременной работе приборов отсчеты по обеим шкалам складываются и сумма делится на два.

Рабочая схема тензометра рычажного типа показана на рис. 10.2.3. При работе прибор прижимается к поверхности испытываемого образца при помощи струбцины. Базой прибора является расстояние между ребром призмы 1 и острием ножа 2. Жесткая рамка 6 вместе с призмой 1 составляет часть прибора, воспринимающую деформацию образца. Частью прибора, которая увеличивает деформацию, является рычаг 3, жестко соединенный с призмой 1, и стрелка 5, шарнирно соединенная с рычагом тягой 4. Для повышения точности отсчетов шкала 7 снабжена прорезью с зеркалом.

При увеличении длины l (базы тензометра) на величину Δl происходит поворот призмы вокруг ее верхнего ребра на некоторый угол. Вместе с призмой на тот же угол повернется рычаг 3, который при помощи тяги отклонит стрелку 5. Вследствие поворота стрелки нижний ее конец переместится по шкале на величину ΔВ с отсчета В1 на отсчет В2. Коэффициент увеличения k зависит от соотношения плеч рычагов 3 и 5 и равен

k = ΔВ/Δl.

 Обычно используются тензометры рычажного типа с коэффициентом увеличения 1000–1200 и с базой 20 мм (реже 10 мм). Точное значение коэффициента увеличения имеется в паспорте каждого тензометра.

10.2.2. Содержание работы

Лабораторная работа подразделяется на две части:

а) определение модуля продольной упругости Е стали;

б) определение коэффициента Пуассона ν стали.

При выполнении первой части работы после обмера образца его помещают в захваты машины и устанавливают на нем спаренные тензометры коленчато-рычажного типа для определения продольных деформаций. Поскольку в начальной стадии нагружения на величины отсчетов оказывают влияние скольжение головок образца в захватах и зазоры в деталях машины, снятие показаний тензометров следует начинать после предварительного нагружения образца.

В дальнейшем производится ступенчатое нагружение образца одинаковыми приращениями нагрузки в пределах упругих деформаций, снятие показаний тензометров при каждой заранее намеченной величине нагрузки и запись в таблицу наблюдений журнала работ.

При достаточной тщательности проведения опыта приращения показаний тензометров, соответствующие равным ступеням нагрузки, должны быть примерно равны, что явится подтверждением подчинения материала закону Гука σ = Еε.

Среднее приращение деформаций по обеим шкалам тензометров определяется по формуле

где  и  – средние приращения продольных деформаций, замеренных тензометрами.

Средняя относительная продольная деформация определяется с помощью формулы ε = Δl/l, которая в данном случае запишется в виде

где Б – база тензометров, к – коэффициент увеличения показаний тензометров.

На основании данных, полученных из опыта, среднее значение приращения напряжений на каждой ступени нагружения составит

где ΔF – приращение нагрузки, А – площадь поперечного сечения образца.

Искомая величина модуля упругости Е в соответствии с законом Гука определится по формуле

При выполнении второй части работы для определения линейных деформаций образца удобно использовать тензометры рычажного типа, которые устанавливают на образец с прямоугольным поперечным сечением. Образцы в данной части работы можно испытывать как на растяжение, так и на сжатие.

При испытании на растяжение применяют обычно образцы, у которых длины сторон поперечного сечения разнятся в несколько раз. В таких случаях на узкой грани образца устанавливается тензометр для замера продольных деформаций, а на широкой – для замера поперечных деформаций (рис. 10.2.4).

При испытании на сжатие размеры сторон поперечного сечения соизмеримы и тензометры устанавливают по схеме, показанной на рис. 10.2.5. Снятие отсчетов тензометров производят после предварительного нагружения образца. Последующие нагружения производятся одинаковыми приращениями нагрузок. При каждой ступени нагружения снимаются отсчеты по тензометрам и заносятся в журнал работ.

Используя полученные данные, вычисляют средние приращения абсолютных деформаций в продольном и поперечном направлениях образца.

Средние относительные деформации определяются по формулам

где Бi и кi – соответственно, база и коэффициент увеличения тензометров.

Величина коэффициента Пуассона определяется по формуле

.

Парная установка продольных и поперечных тензометров дает возможность повысить точность результатов опыта.

10.2.3. Порядок выполнения работы

 В первой части работы следует ознакомиться с испытательной машиной и тензометром.

Записать в журнал работ характеристики тензометров и размеры образца.

Заложить образец в захваты машины и установить на него тензометры.

После проверки готовности машины к испытанию следует дать предварительную нагрузку на образец и при этой нагрузке записать показания тензометров. Далее равными приращениями увеличивать нагрузку, записывая каждый раз показания тензометров. Нагружение производить в пределах упругих деформаций, что предусматривается заранее.

После ряда (5–6) замеров нужно разгрузить образец полностью, выключить машину и вынуть образец из захватов.

Далее производят вычисления приращений показаний для каждой ступени нагружения обоих тензометров, среднее приращение по каждому тензометру и среднее приращение по обеим шкалам.

Вычисляются средняя относительная деформация, приращение напряжения и модуль продольной упругости испытываемого материала.

 Во второй части последовательность работы такая же, как и в первой. После нагружения образца и записи опытных данных производится их обработка.

Вычисляют приращения показаний при каждой ступени нагружения и среднее приращение по каждому тензометру.

Вычисляют средние относительные поперечные и продольные деформации и по ним определяют величину коэффициента Пуассона стали. В журнале работ также делают зарисовку образца с установленными на нем тензометрами.

10.2.4. Пример обработки опытных данных

а) Определение модуля продольной упругости стали

Испытательная машина ГМС – 20

Характеристика испытываемого образца

Материал сталь.

Размеры образца:

 диаметр d = 1 см;

 площадь поперечного сечения А = πּd2/4 = 0,785 см2.

Характеристика тензометров

Коэффициент увеличения k1 = k2 = 500; база Б = 100 мм.

Таблица наблюдений

Нагрузка

F, 

кН

Приращение

нагрузки

ΔF, кН

Левый тензометр

Правый тензометр

nлев, мм

Δлев,мм

nпр, мм

Δпр, мм

2,5

17,0

10,0

5,0

2,5

25,2

8,2

18,0

8,0

7,5

2,5

33,2

8,0

26,0

8,0

10,0

2,5

41,0

7,8

33,8

7,8

12,5

2,5

49,0

8,0

41,1

7,3

15,0

2,5

56,5

7,5

48,6

7,5

Среднее приращение по левой шкале = 7,9 мм.

Среднее приращение по правой шкале  = 7,72 мм.

Среднее приращение по обеим шкалам = (7,9 +7,72)/2 = 7,81 мм.

Средняя относительная продольная деформация на интервале нагрузки ΔF = 2,5 кН 

Среднее приращение напряжения

Модуль продольной упругости стали

  б) Определение коэффициента Пуассона стали

Испытательная машина ГМС – 20.

Таблица наблюдений

Нагрузка F,

 кН

Приращение

нагрузки  ΔF,

 кН

Поперечный

тензометр

Продольный

тензометр

nnon, мм

Δnon,мм

nпр, мм

Δпр, мм

20

25

25

30

10

24,1

0,9

28,1

3,1

40

10

23,1

1,0

30,8

2,7

50

10

22,0

1,1

34

3,2

Характеристика испытываемого образца

 Материал сталь.

 Размеры образца: ширина  а = 4 см; толщина b = 0,9 см; 

 длина l = 44 см;

 площадь поперечного сечения А = аb = 4ּ0,9 = 3,6 см2.

Характеристика тензометров

  Коэффициент увеличения k1 = k2 = 1000; база Б = 20 мм.

Среднее приращение показаний поперечного тензометра 

  = 1,0 мм.

Среднее приращение показаний продольного тензометра 

  = 3,0 мм.

Средняя относительная поперечная деформация на интервале нагрузки ΔF = 10 кН 

Средняя относительная продольная деформация на интервале нагрузки ΔF = 10 кН 

  Коэффициент Пуассона стали

10.3. Испытание на сжатие образцов

из пластичных и хрупких материалов

Целью работы является определение пределов прочности и изучение характера разрушения образцов металла, цемента и дерева при сжатии.

10.3.1. Применяемые машины и приборы

При выполнении данной работы могут быть использованы любые испытательные машины (см., например, п.10.1.1.), мощность которых позволяет довести до разрушения при сжатии образцы из выбранных заранее материалов.

Из измерительных приборов применяются штангенциркуль и микрометр. Диаграммный аппарат машины автоматически записывает весь процесс испытания образца в виде кривой в системе координат «нагрузка – абсолютная деформация».

10.3.2. Содержание работы

В процессе испытания образцы из различных конструкционных материалов медленным возрастанием нагрузки доводятся до разрушения, и фиксируется соответствующая разрушающая сила. Образцы для испытаний на сжатие применяются в виде кубика или цилиндра с высотой, соизмеримой с диаметром. Для более длинных образцов в опытах на сжатие трудно избежать искривления.

При сжатии цилиндрического образца из пластичного материала (мягкой стали) при напряжениях, ниже предела пропорциональности, материал ведет себе так же, как при растяжении. Величины предела пропорциональности, предела текучести и модуля продольной упругости для таких материалов при сжатии и растяжении примерно одинаковы.

 После перехода за предел пропорциональности появляются заметные остаточные деформации. Благодаря трению между опорными плитами машины и основаниями образца затрудняются его поперечные деформации в этих сечениях, и он принимает бочкообразную форму. По мере увеличения площади поперечного сечения для дальнейшей деформации приходится увеличивать нагрузку, и образец может быть сплющен, не обнаруживая признаков разрушения. Напряжения, аналогичного пределу прочности при растяжении, в этом опыте получить нельзя, а поэтому приходится ограничиваться определением условного предела прочности. Это – напряжение, при котором цилиндрическая форма образца переходит в явно выраженную бочкообразную (рис. 10.3.1).

Хрупкие материалы (чугун, бетон) при сжатии, так же как и при растяжении, разрушаются при весьма малых деформациях. Образцы, например, из бетона при разрушении от сжатия распадаются обычно на куски, представляющие собой усеченные пирамиды, соединенные меньшими основаниями, что также объясняется влиянием трения между плитами машины и основаниями образцов (рис. 10.3.2). Если ослабить это трение, например, смазывая парафином торцы образца, то характер разрушения бетона будет другой: образец будет разделяться на части трещинами, параллельными линии действия сжимающей силы. Разрушающая нагрузка для такого образца будет меньше, чем для образца, испытанного обычным путем, без смазки.

При разрушении чугунного цилиндрического образца возникают трещины под углом от 40 до 50 градусов к оси образца (рис. 10.3.3).

При сжатии образцов из дерева или вырезанных из стеклопластика получаются резко различные результаты в зависимости от направления сжатия по отношению к волокнам материала. Такие материалы называют анизотропными. При сжатии, например, дерева вдоль волокон предел прочности в 5–10 раз больше, чем при сжатии поперек волокон.


Образец из дерева, испытываемый на сжатие вдоль волокон, до разрушения накапливает сравнительно небольшие деформации. После достижения нагрузкой наибольшего значения начинается разрушение образца, сопровождаемое падением нагрузки (рис. 10.3.4).

При сжатии дерева поперек волокон сначала нагрузка возрастает, достигая величины, соответствующей пределу пропорциональности, затем образец начинает быстро деформироваться почти без увеличения нагрузки. В дальнейшем за счет сильного уплотнения материала нагрузка начинает расти. Условно считают разрушающей ту нагрузку, при которой образец сжимается примерно на 1/3 своей первоначальной высоты (рис.10.3.5).

Величины усилий, показанные силоизмерителями при разрушении образцов, заносятся в журнал работ. В нем же делаются зарисовки образцов до и после разрушения.

По полученным разрушающим силам – истинным или условным – вычисляются напряжения, соответствующие пределу прочности на сжатие, для каждого материала. В журнале работ строятся диаграммы испытания на сжатие в координатах «нагрузка – абсолютная деформация».

10.3.3. Порядок выполнения работы

Ознакомиться с испытательной машиной, обмерить с помощью штангенциркуля размеры образцов и результаты занести в журнал работ.

Поместить образец между плитами машины и проверить готовность машины к испытанию.

Включить машину и вести наблюдение за поведением образца и показаниями силоизмерительного устройства.

Занести в журнал работ величину усилия, соответствующую началу разрушения образца.

После разрушения образца выключить машину и вынуть разрушенный образец.

По данным испытания вычислить временные сопротивления (пределы прочности) на сжатие для каждого материала, зарисовать вид каждого образца до и после испытания, записать объяснение характера и причины разрушения, изобразить диаграмму испытания в журнале работ.

10.4. Испытание материалов на сдвиг

Целью работы является определение предела прочности на срез для металлов (сталь, дюралюминий) и предела прочности на скалывание и срез для дерева.

10.4.1. Применяемые машины и приспособления

При выполнении этой работы могут быть использованы испытательные машины, описание которых дано в п.10.1.1. Из приборов применяются штангенциркуль и микрометр.

При испытании металлических, например, стальных образцов цилиндрической формы используется специальное приспособление (рис. 10.4.1), укрепляемое в захватах машины и позволяющее осуществить срез по двум плоскостям поперечного сечения.

Для испытания дерева на скалывание и срез используется приспособление, показанное на рис. 10.4.2, позволяющее осуществлять разрушение по одной плоскости.

10.4.2. Содержание работы

При выполнении этой работы могут быть использованы испытательные  машины, описа-

ние которых дано в п. 10.1.1. Из приборов применяются штангенциркуль и микрометр.

При испытании металлических, например, стальных образцов цилиндрической формы используется специальное приспособление, укрепляемое в захватах машины и позволяющее осуществить срез по двум плоскостям поперечного сечения (рис. 10.4.1).

Для испытания дерева на скалывание и срез используется приспособление, показанное на рис. 10.4.2, позволяющее осуществлять разрушение по одной плоскости.

10.4.2. Содержание работы

Стальной образец, вставленный в указанное приспособление, помещается между плитами испытательной машины и доводится до разрушения. Записывается диаграмма испытания и фиксируется разрушающая нагрузка.

Возможно испытание на срез и плоского образца, вырезанного из листового материала, например, дюралюминия (рис. 10.4.3). Образец укрепляется в захватах машины и доводится до разрушения. В данном случае срез происходит по одной плоскости – по площадке с площадью ab.

Сопротивляемость сдвигу у анизотропных материалов (например, древесины) зависит от направления действующего усилия. Поэтому образцы из дерева доводятся до разрушения в испытательной машине с помощью указанного выше приспособления три раза: при сдвиге параллельно волокнам (рис. 10.4.4, а); при сдвиге вдоль волокон (рис. 10.4.4, б) и при перерезывании волокон (рис. 10.4.4, в). При каждом испытании фиксируется разрушающая нагрузка.

По полученным данным вычисляются величины пределов прочности металлов на срез и древесины на срез и на скалывание параллельно волокна и вдоль волокон. В журнале работ зарисовываются эскизы образцов – до и после испытания.

10.4.3. Порядок выполнения работы

Обмерить с помощью штангенциркуля размеры, определяющие площадь среза или скалывания образца, и занести их в журнал работ.

При испытании стального цилиндрического образца установить его в приспособление, поместить приспособление между плитами машины и проверить готовность машины к испытанию.

Включить машину и постепенным нагружением довести образец до разрушения. В процессе испытания вести наблюдение за состоянием образца, записью диаграммы испытания и показаниями силоизмерительного устройства.

После разрушения образца выключить машину и вынуть три части разрушенного образца.

  При испытании дюралюминиевого плоского образца последовательность действий аналогична указанной, но не используется специальное приспособление и образец при разрушении разделяется на две части.

 При троекратном испытании деревянных образцов последовательность действий также аналогична указанной. Но в данном случае используется специальное приспособление и образцы при разрушении разделяются на две части каждый.

  По данным испытаний вычисляются пределы прочности на срез (или на скалывание – для дерева), причем для стали необходимо учесть удвоенную площадь среза поперечного сечения. В журнале работ зарисовать вид каждого образца до испытания и после разрушения.

10.5. Испытание на кручение с определением модуля сдвига

Цель работы – проверить справедливость закона Гука при кручении, определить величину модуля сдвига стали, исследовать характер деформаций при кручении и установить величины разрушающих напряжений при скручивании образцов из различных материалов.

10.5.1. Применяемые машины и приборы

Испытания на кручение производятся либо на стандартных испытательных машинах различных типов, либо на специальных экспериментальных установках. Расположение испытываемого образца в них может быть как горизонтальным, так и вертикальным.

Одним из существующих типов машин на кручение являются машины с маятниковым измерением скручивающего момента. К ним, например, относятся машины российского производства МК-20 и КМ-50. Принципиальная схема такой машины с горизонтальным расположением образца (типа МК-20) показана на рис. 10.5.1. Нагружение образца 1, укрепленного с помощью заклинивающих устройств в захватах 2, производится вручную

или при помощи электромотора через червячную пару 6 и 7. Возникающий на захвате 2 скручивающий момент уравновешивается отклонением маятника 8. Угол отклонения маятника от вертикали пропорционален величине момента, скручивающего образец. Отсчет величины этого мо-мента производится по шкале, нанесенной на втулке маятника 3 или по шкале барабана 4, который поворачивается пропорционально углу отклонения ма-ятника зубчатой рейкой 5.

 Схема машины на кручение с вертикальным расположением образца (типа КМ-50) показана на рис. 10.5.2.

 Нагружение образца производится также вручную или от электромотора. Скручивающий момент, приложенный к образцу через захват, уравновешивается моментом маятника. Отклонение маятника регистрируется стрелкой измерительного устройства.

  Наряду с указанными машинами существуют машины на кручение с рычажным измерением скручивающего момента. Принципиальная схема одной из таких машин показана на рис. 10.5.3.

Здесь образец 1 крепится в захватах 2 и 3. На захват 2 передается скручивающее усилие через червячную па-ру от ручки 4. Это усилие захват 3 воспринимает от образца и передает через систему рычагов 5, 6 на коромысло 7 с подвижным грузом 8. Посредством перемещения груза достигается уравновешивание коромысла, на котором нанесены деления, по которым и фиксируется момент на образце.

 Наряду со стандартными машинами для проведения лабораторной работы может быть применена специальная установка для испытания на кручение, которую можно изготовить в мастерской лаборатории. Схема такой установки со скучивающим моментом до 2500 Н·см показана на рис. 10.5.4

 Круглый стальной образец 1 одним своим концом жестко закрепляется в стенке станины установки. Другим концом образец свободно проходит через отверстие в другой стенке станины 3. На свободном конце стержня перпендикулярно ему жестко прикреплен рычаг 4, к которому приложена нагрузка F, закручивающая стержень. Поскольку рычаг 4 расположен у самой опоры, изгиб стержня будет незначительным и им можно пренебречь, считая образец работающим только на кручение. Величина скручивающего момента может изменяться как при помощи гирь, так и изменением места расположения подвеса на рычаге.

На испытываемом образце в двух выбранных сечениях 5 и 6 жестко закреплены  две струбцины 7 и 8 длиной а каждая. При закручивании образца струбцины поворачиваются на некоторые углы ψ1 и ψ2. Искомый угол закручивания на участке между сечениями 5 и 6 равен ψ = ψ2 – ψ1.

Так как испытание проводится в пределах упругости и, следовательно, углы ψ1 и ψ2 имеют весьма малые значения, то они могут быть определены по перемещениям концов струбцин через их тангенсы:

 

отсюда ψ = ψ2 – ψ1 = (y2/a) – (y1/a). Измерение перемещений концов струбцин производится с помощью стрелочных индикаторов часового типа.

Стрелочный индикатор (мессура) – прибор часового типа, применя-ющийся для замера перемещений, прогибов и т.п. Принципиальная схема прибора показана на рис. 10.5.5. При измерении перемещений индикатор устанавливается неподвижно и прижимается штифтом 1 к точке тела, перемещение которой желают определить. Пружина 2 обеспечивает постоянный контакт измерительного штифта с поверхностью тела. Перемещение штифта через систему передач (червячная рейка 4, шестерни 5 и 6) передается стрелке 3. При перемещении штифта на 1 мм стрелка 3 делает полный оборот. По окружности, описываемой концом стрелки, нанесена шкала со 100 делениями. Таким образом, одно деление шкалы соответствует перемещению штифта на 0,01 мм.

Иногда используют устройство, в котором штифт стрелочного индикатора соединяется с определенным сечением образца. Соответствующим подбором конструктивных размеров устройства добиваются удобного соотношения между величиной угла закручивания образца и показанием индикатора. Например, углу закручивания образца на одну минуту соответствует одно деление индикатора.

В данной лабораторной работе возможно также использование зеркального прибора для замера углов закручивания. Схема такого прибора приведена на рис. 10.5.6. В сечении 1, угол закручивания которого нужно определить, при помощи струбцины 2 прикрепляется стержень с зеркалом 4 на конце. Против зеркала на расстоянии L устанавливается рейка 5 с миллиметровыми делениями на ней. Рядом с рейкой помещается зрительная труба 6. В исходном положении при помощи волоска зрительной трубы делается отсчет В1 по рейке, отраженной в зеркале. При повороте сечения на угол ψ на такой же угол повернется и зеркало. При этом наблюдатель сделает на рейке отсчет В2. Разность отсчетов ΔВ = В2 – В1 будет пропорциональна углу закручивания сечения. Из рис. 10.5.6 видно, что tg2ψ = ΔВ/L. Так как угол закручивания сечения весьма мал ввиду малости упругих деформаций, можно считать, что tg2ψ2ψ. Тогда ψ = ΔВ/2L.

10.5.2. Содержание работы

Работа состоит из двух частей:

 а) экспериментальная проверка закона Гука при кручении и определение модуля сдвига стали; б) изучение характера деформаций и разрушения при кручении образцов из различных материалов и определение для них пределов прочности при кручении.

Закон Гука при кручении стержней круглого поперечного сечения выражается формулой

где Т – крутящий момент, Ψ – угол закручивания, возникающий под действием этого момента, l – расстояние между закручиваемыми сечениями, Iρ – полярный момент инерции образца.

Если в процессе опыта окажется, что одинаковым ступеням приращения крутящего момента соответствуют одинаковые приращения угла закручивания, то это будет говорить о справедливости закона Гука при кручении в данных пределах.

После того как установлена справедливость закона Гука, можно найти величину модуля сдвига материала образца. Зная величину l и вычислив полярный момент инерции сечения образца Iρ, можно по замеренным углам закручивания ψ, соответствующим ступеням моментной нагрузки, вычислить значение величины G по формуле

Пользуясь известной из теории сдвига зависимостью G=E/2(1+ν), следует сравнить найденное в данной работе значение величины G для стали с выраженным по этой формуле значением. Для Е и ν их значения можно взять из ранее выполненной работы (см. п.10.2).

При кручении в сечениях, перпендикулярных оси стержня, возникают касательные напряжения τ, а по сечениям, наклоненным к оси на угол 45о, действуют главные напряжения σmax = σ1 = τ и σmin = σ3 = –τ. Характер разрушения при кручении образцов из различных материалов зависит от способности материала сопротивляться растяжению и сдвигу.

Разрушение стального образца (пластичный материал) вызывается действием касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях. Разрушение чугунного образца (хрупкий материал) связано с действием главных (конкретно – нормальных растягивающих) напряжений. Разрушение деревянного образца происходит путем расслаивания продольных волокон в результате действия касательных напряжений в продольных сечениях образца, проходящих через его ось.

По результатам испытаний определяются пределы прочности при кручении для указанных материалов.

Следует учитывать, что разрушение стального образца происходит в пластической области и в расчет принимается пластический момент сопротивления кручению Wρ,пл, который, как известно, связан с полярным моментом сопротивления Wρ соотношением Wρ,пл = 4Wp /3. Таким образом, предел прочности при кручении для стали устанавливается по формуле

Разрушение чугунного и деревянного образцов происходит в пределах упругих деформаций, и для них предел прочности определяется по формуле

В журнал работ зарисовываются эскизы образцов до и после разрушения. Для стали изображается схема диаграммы кручения в координатах «крутящий момент – угол закручивания» (схема потому, что упругий участок диаграммы кручения стали существенно меньше неупругого).

10.5.3. Порядок выполнения работы

Обмерить с помощью штангенциркуля или микрометра размеры, определяющие площадь поперечного сечения каждого испытываемого образца, вычислить полярные моменты инерции и полярные моменты сопротивления сечений и занести их в журнал работ.

Заложить стальной образец в захваты машины или специальной установки на кручение и закрепить в соответствующих местах измерительные приборы.

– Проверить готовность машины к испытанию и нагрузить образец начальной небольшой нагрузкой (создать первоначальный натяг), при которой произвести замер угла закручивания.

– Увеличивать нагрузку равными ступенями и заносить в журнал работ отсчеты при каждой ступени нагружения.

– По окончании опыта рекомендуется образец разгрузить до первоначальной нагрузки и сделать контрольные отсчеты, сопоставив их с первоначальными.

– Для выполнения второй части работы с образца снимаются измерительные приборы и затем осуществляется непрерывное его нагружение до разрушения. Одновременно машиной производится запись диаграммы испытания в координатах «крутящий момент – угол закручивания».

– Аналогично проводятся испытания до разрушения при кручении образцов из чугуна и дерева. Запись диаграммы испытания можно не производить, однако следует зафиксировать в каждом опыте величину разрушающего скручивающего момента и соответствующего угла закручивания.

–  По окончании испытаний выключить машину и вынуть части разрушенных образцов из захватов.

– В журнале работ произвести вычисления значений среднего при-ращения угла закручивания Δψср, модуля сдвига G и сравнить последний с вычисленным по формуле через величины Е и ν.

– Вычислить пределы прочности при кручении для всех испытанных материалов.

– Изобразить в журнале работ схему диаграммы кручения стали и эскизы всех образцов до испытания и после их разрушения. В каждом случае в журнале записать заключение о причине разрушения образца из каждого материала.

10.5.4. Пример обработки опытных данных

Испытательная машина КМ – 50.

Геометрические и механические характеристики стального образца:

– расчетная длина l = 10 см;

– диаметр d = 1,0 см;

– полярный момент инерции Ip = πd4/32 = 0,098 см4;

– полярный момент сопротивления Wp= πd3/16 = 0,196 см3;

– модуль продольной упругости  Е = 2ּ105 МПа;

– коэффициент Пуассона ν = 0,3.

Скручивающий момент измеряется при помощи маятникового силоизмерителя; угол закручивания в упругой зоне измеряется с помощью приспособления, включающего индикатор часового типа; углу закручивания в одну минуту соответствует одно деление шкалы индикатора.

а) Экспериментальная проверка закона Гука и определение модуля G

Таблица наблюдений

Скручивающий момент Т, Н·м

Приращение

момента ΔТ, Н·м

Угол закручивания ψ, мин

Приращение угла Δ ψ,  мин

8

 

39

11

3

53

14

14

3

67

14

17

3

82

15

Среднее приращение угла закручивания в минутах Δψср΄ = 14,33 мин.

Среднее приращение угла закручивания в радианах 

Модуль сдвига стали из опыта

Модуль сдвига стали по теоретической формуле

Расхождение опытного и расчетного значений модуля сдвига

б) Разрушение стального образца

 Скручивающий момент, соответствующий пределу пропорциональности Tpr = 35 Н·м;

 угол закручивания, соответствующий пределу пропорциональности

 ψpr = 2,8º;

 скручивающий момент при разрушении образца Tmax = 80 Н·м;

 угол закручивания при разрушении образца  ψmax = 1620º.


Схема диаграммы кручения

Предел прочности стали при кручении

Эскизы образца


До опыта После опыта

Заключение о причине разрушения:  образец разрушился от касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях образца. 

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример 1.

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

Пример 2.

При интегрировании использованы тождественные преобразования подынтегральной функции, правила 2 и 3, табличная формула 2.


Лабораторный практикум по сопромату