Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Предельная нагрузка для балок

 Напряженное состояние изгибаемых конструкций (балок) определяется величинами изгибающих моментов. При плоском поперечном изгибе изгибающий момент, согласно рис. 8.1 и рис. 8.2, не может быть больше момента текучести:

или

   (8.2.1)

где и– соответственно статические моменты верхнего и нижнего полусечения относительно нейтральной оси z; Wz,pl – пластический момент сопротивления.

 Например, для прямоугольного поперечного сечения (рис. 8.2.1, а, б):

   (8.2.2)

 В балках при достижении наибольшими изгибающими моментами значений Mu образуются пластические шарниры (рис. 8.2.1, а). В этом случае изгибающий момент в сечении равен предельному Mu и не может увеличиваться, а деформирование балки далее происходит при постоянном значении изгибающего момента в пластическом шарнире.

 Статически определимая балка имеет предельную нагрузку соответствующую образованию пластического шарнира в наиболее напряженном сечении, когда балка превращается в механизм.

 Статически неопределимая стержневая система или балка при разрушении тоже превращается в механизм. При этом в балках или рамах необходимо образование стольких пластических шарниров, сколько требуется для превращения их в механизм.

 Задача 8.2.1. Дана стальная однопролетная шарнирно опертая балка, нагруженная по всему пролету равномерно распределенной нагрузкой q = = 20 кН/м, расстояние между опорами l = 3 м.

 Подобрать сечение прокатной двутавровой балки, если Ry = 240 МПа, = 1, и определить, во сколько раз необходимо увеличить равномерно распределенную нагрузку q, чтобы в балке образовался пластический шарнир. Принять предел текучести стали Ryn = 285 МПа. Собственным весом балки пренебречь.

 Решение. Определяем максимальный изгибающий момент в середине пролета балки:

  По формуле (4.2.7) находим необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки:

 По табл. III, а “Двутавры стальные горячекатаные” выбираем двутавр № 16 с Wz = 109 см3 и статическим моментом площади полусечения относительно нейтральной оси z – = = 62,3 см3.

 По формуле (8.2.1) находим момент текучести

 И, наконец, определяем n = Mu / Mmax = 35,51/22,5 = 1,58.

 Следовательно, если равномерно распределенную нагрузку q =20 кН/м увеличить в 1,58 раза, то в середине пролета в поперечном сечении балки возникнет пластический шарнир и балка превратится в механизм.

 Задача 8.2.2. Консольная балка длиной l = 2 м на свободном конце нагружена сосредоточенной силой Fu. Приняв= 285 МПа, определить предельную нагрузку Fu, если балка имеет постоянное по длине прямоугольное поперечное сечение = 15 см5 см.

 Ответ: Fu = 40,08 кН.

  Задача 8.2.3. Однопролетная шарнирно опертая балка из двутавра №20 нагружена посередине пролета силой F. Пролет балки l = 4 м, предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, расчетное сопротивление стали Ry = 240 МПа, = 1.

 Определить допускаемую Fadm и предельную нагрузку Fu.

 Ответ: Fadm = 44,16 кН; Fu = 59,28 кН.

 Задача 8.2.4. Дана статически неопределимая балка постоянного прямоугольного поперечного сечения (рис. 8.2.2, а).


Определить предельную нагрузку Fu, если предел текучести материала балки= 285 МПа.

 Решение. Определяем предельный изгибающий момент (момент текучести), используя формулы (8.2.1) и (8.2.2):

  Для балки, нагруженной сосредоточенными силами, эпюра изгибающих моментов изображается ломаной линией (рис. 8.2.2, б). Пики эпюры моментов будут находиться в заделке и в точках приложения сосредоточенных сил. В этих сечениях и могут возникать пластические шарниры. В рассматриваемом случае возможны два механизма разрушения балки.

  Первый механизм разрушения. Предположим, что пластические шарниры образовались в заделке и в сечении на расстоянии l1 = 3 м от заделки (рис. 8.2.2, в).

  Составим уравнение предельного равновесия для всей балки (рис. 8.2.2, в):

и для правой части балки (рис. 8.2.2, г):

  В результате получена система двух уравнений с двумя неизвестными величинами Fu1 и VB1:

решая которую находим первое значение предельной нагрузки Fu1 :

  Второй механизм разрушения возможен при возникновении пластических шарниров в заделке и в сечении на расстоянии l3 = 3 м от правой опоры (рис. 8.2.2, д).

  Составим уравнение предельного равновесия для всей балки (рис. 8.2.2, д):

и для правой части балки (рис. 8.2.2,е):

 В результате получена система двух уравнений с двумя неизвестными величинами Fu2 и VB2:

решая которую находим второе значение предельной нагрузки Fu2:

 Истинным значением предельной нагрузки должно быть наименьшее из Fu1 и Fu2, но в нашем случае обе предельные нагрузки равны, следовательно,

Fu = min{Fu1, Fu2}= min{95; 95} = 95 кН.

 Задача 8.2.5. Для статически неопределимой балки, изображенной на рис. 8.2.3, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, а балка представляет собой двутавр № 20, причем l1 = l2 =l = 2 м.

 Ответ: Fu = 4Мu/l = 118,56 кН.

 Задача 8.2.6. Для статически неопределимой балки, изображенной на рис. 8.2.3, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки= 285 МПа. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение = , а l1 = 1 м, l2 = 2 м.

 Ответ: Fu = 3Mu = 855 кН.

 Задача 8.2.7. Для балки, показанной на рис. 8.2.4, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки Ryn = 285 МПа, балка представляет собой двутавр № 20, причем

l1 = l2 = l = 2 м.

 Ответ: Fu = 3Mu /l = 88,92 кН.

 Задача 8.2.8. Для один раз статически неопределимой балки, изображенной на рис. 8.2.4, найти предельную нагрузку, если предел текучести материала балки= 285 МПа. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение =, а l1 = 1 м, l2 = 2 м.

 Ответ: Fu = Mu(2 + l1/l2)/l1 = 2,5Mu = 712,5 кН.

 Задача 8.2.9. Пусть дана однопролетная балка, нагруженная двумя сосредоточенными силами (рис. 8.2.5). Материал балки – сталь с пределом текучести σу = 285 МПа. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение =.

 Требуется определить предельную нагрузку Fu.

  Эта задача была решена в примере 8.2.4 методом, определяемым статическими теоремами теории предельного равновесия. Решим эту же задачу методом, определяемым кинематическими теоремами теории предельного равновесия. В этом случае будут использоваться формулы для определения работ W внутренних и внешних сил F и моментов М:

  и  (8.2.3)

где– путь, пройденный силой F; – угол поворота сечения.

 Решение. Первый механизм разрушения образуется при возникновении пластических шарниров в сечениях А и С. Составим уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий:

  (8.2.4)

 Учитывая малость углов, запишем (рис. 8.2.5, а):

откуда далее  откуда

 Из подобия треугольников (рис. 8.2.5, а) определяем:

  откуда

 Полученные выражения подставим в уравнение равенства работ (8.2.4):

откуда и определяем предельную нагрузку Fu1 для первого варианта разрушения балки (рис. 8.2.5, а):

 Полученный результат совпал с результатом, полученным в примере 8.2.4.

 Рассмотрим второй возможный механизм разрушения балки. Он будет при возникновении пластических шарниров в сечениях А и К (рис. 8.2.5,б).

 Составим уравнение равенства работ внешних и внутренних сил:

  (8.2.5)

 Согласно рис.8.2.5,б с учетом малости углов  запишем

откуда  

откуда

 Из подобия треугольников (рис. 8.2.5, б) определяем

  откуда

 Полученные выражения для,, подставим в уравнение работ (8.2.5) для второго возможного механизма

откуда и находим предельную нагрузку Fu2:

  Окончательно получаем: Fu = min{Fu1, Fu2}= min{95; 95}= 95 кН.

 Задача 8.2.10. Решить пример 8.2.5 кинематическим методом, используя уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий.

 Задачи 8.2.11 – 8.2.13. Решить примеры 8.2.6 – 8.2.8 кинематическим методом, используя уравнение равенства работ внешних и внутренних усилий.

 Задача 8.2.14. Определить предельную нагрузку для балки постоянного сечения, показанной на рис. 8.2.6, если l1 = l2 = l, EIz = const по всей длине балки, σу – предел текучести материала балки, Wz,pl – пластический момент сопротивления.

 Ответ: Fu = 6Wz,pl/l = 6Mu/l.

8.3. Предельная нагрузка при кручении

 Предельным состоянием для идеально пластического материала будет такое, при котором касательные напряжения во всех точках поперечного сечения станут равными пределу текучести τу (рис. 8.3.1). При упругом кручении круглого стержня максимальные касательные напряжения в контурных точках определяют по формуле (3.2.4). Выражение для предельного крутящего момента как результирующего момента, возникающего в поперечном сечении (рис. 8.3.1) от внутренних касательных напряжений τу, имеет вид

  (8.3.1)

где Wp,pl – пластический момент сопротивления при кручении, который для сплошного круглого поперечного сечения вычисляется по формуле

  (8.3.2)

а для кольцевого сечения с наружным D и внутренним d диаметрами по формуле

  (8.3.3)

 Задача 8.3.1. Стальной стержень сплошного круглого сечения диаметром d = 5 см, жестко закрепленный с обоих концов, нагружен крутящим моментом Мu (рис. 8.3.2, а). Определить предельный крутящий момент, если предел текучести материала стержня при кручении =150 МПа.

 Решение. В предельном состоянии в поперечных сечениях стержня возникают предельные крутящие моменты Тu, равные

  Выделим часть стержня сечениями I–I и II–II (рис. 8.3.2, б). На оставшуюся часть стержня в предельном состоянии кроме момента Mu действуют моменты Tu, приложенные по торцам оставшегося участка и направленные в сторону, противоположную Mu. Составим уравнение равновесия:

  или Mu = 2Tu.

 Окончательно величина предельного внешнего крутящего момента будет Mu = 2Tu == 9,82 кН·м.

 Задача 8.3.2. Стальной стержень сплошного круглого сечения, жестко закрепленный с обоих концов, нагружен крутящим моментом Мu = 50 кН·м (рис. 8.3.2, а).

 Определить необходимый диаметр стержня, используя расчет по предельному состоянию.

 Принять предел текучести материала стержня τу = 150 МПа, коэффициент запаса прочности n = 2.

 Ответ:

 Задача 8.3.3. Стальной стержень сплошного круглого сечения жестко закреплен с одного конца, а на другом свободном конце нагружен крутящим моментом Мu = 50 кН·м.

 Определить необходимый диаметр стержня, используя расчет по предельному состоянию. Принять предел текучести материала стержня τу = =150 МПа, коэффициент запаса прочности n = 2.

 Ответ: d = 0,137 м.

 Задача 8.3.4. Стальной стержень кольцевого сечения с наружным диаметром D = 10 см и внутренним диаметром d = 9 см жестко защемлен с одного конца, а на другом свободном конце нагружен крутящим моментом Мu.

 Определить предельный внешний крутящий момент Мu, если предел текучести материала стержня τу = 150 МПа.

 Ответ: Мu = 10,64 кН·м.

 Задача 8.3.5. Стальной стержень кольцевого сечения с внутренним диаметром d = 9 см жестко защемлен с одного конца, а на другом свободном конце нагружен крутящим моментом Мu = 10 кН·м.

  Определить наружный диаметр D кольцевого сечения, при котором во всех сечениях кольцевого стержня будет предельное состояние. Предел текучести материала стержня τу = 150 МПа.

 Ответ: D = 9,94 см.

 Задача 8.3.6. Стальной вал постоянного сплошного круглого сечения диаметром d = 5 см, жестко заделанный с двух концов, нагружен двумя крутящими моментами М (рис. 3.2.15).

 Определить значение предельных крутящих моментов М = Мu, если предел текучести материала стержня τу = 150 МПа.

 Ответ: Мu = 9,82 кН·м.

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример 1.

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

Пример 2.

При интегрировании использованы тождественные преобразования подынтегральной функции, правила 2 и 3, табличная формула 2.


Лабораторный практикум по сопромату