НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
В предыдущих главах использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной точке не превосходило допускаемого напряжения (расчетного сопротивления).
Фактический коэффициент запаса прочности n определялся
как отношение предела текучести 
к фактическому напряжению 
:
В ряде случаев более правильно расчеты на прочность при действии статических
нагрузок вести с учетом пластических деформаций, а запас прочности вычислять как
отношение предельной нагрузки Fu к фактически действующей F:
Для определения предельной нагрузки будем применять методы теории предельного равновесия. Будем считать, что конструкции выполнены из идеально пластических материалов, которые могут быть упруго-идеально пластическими (рис. 8.1) и жестко-идеально пластическими (рис. 8.2).
Когда напряжение достигает значения σу,
говорят, что конструкция «течет» без возможности увеличения напряжений, а деформация
становится неопределенной.
Предельным значением нагрузки называется такое значение нагрузки Fu, действующей на конструкцию, при котором невозможно дальнейшее ее увеличение, а деформации соответствуют горизонтальному участку на рис. 8.1 и рис. 8.2. Значение предельной нагрузки для конструкции из жестко- идеально пластического и из упруго-идеально пластического материала одно и то же.
8.1. Предельная нагрузка для стержневой системы
Для растянутого элемента конструкции предельное нормальное усилие Nu равно
(8.1.1)
где А – площадь поперечного сечения элемента.
Предельная нагрузка Fu всегда соответствует превращению конструкции в механизм. Для определения предельной нагрузки применим методы, определяемые статической теоремой предельного равновесия. Согласно этой теоремы предельная нагрузка является максимальной из всех значений нагрузки, удовлетворяющих условиям равновесия.
В машиностроении вместо формулы (8.1.1) применяют формулу
(8.1.2)
где n2 – коэффициент однородности материала, n3 – коэффициент условий работы, учитывающий степень ответственности детали.
Задача 8.1.1. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой
системы, показанной на рис. 8.1.1. Предел текучести материала стержней принять
= 2900 кг/см2.
 |
Решение. Пусть течет стержень 1 (рис. 8.1.1, а), тогда
Спроектируем все силы на ось m–m (рис. 8.1.1, б):
откуда
находим
Если же предположить, что течет стержень 2, то будем иметь
Спроектируем все силы на ось k–k (рис. 8.1.1, в):
откуда определяем
Таким образом, получили два значения предельной нагрузки
Fu1 = 9743 кг и Fu2 = 8886 кг,
из которых истинное значение предельной нагрузки будет наименьшим:
Задача 8.1.2. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис. 1.3.4, если А1 = 2 см2, А2 = 1 см2, предел текучести материала стержней σу = 285 МПа.
Ответ: Fu = 55 кН.
Задача 8.1.3. Определить предельную
нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис.1.3.3. Материал стержней
АВ и СD имеет предел текучести σу = 285 МПа, балка АС – абсолютно жесткая.
Площади поперечных сечений стержней АВ и СD одинаковы и равны А = 
Ответ: Fu = 2А = 285 кН.
Задача 8.1.4. Определить предельную
нагрузку Fu для стержневой системы, изображенной на рис. 8.1.2. Предел текучести
материала стержней .
Ответ: Fu = min{Fu1; Fu2};
Fu1 = A1cos(
)/cos
;
Fu2 = A2cos()/cos
.
Задача 8.1.5. Определить предельную нагрузку Fu для системы стержней (рис. 8.1.3, а). Дано А1 = 4 см2, А2 = 3 см2, А3 = 2 см2, σу = 285 МПа.
Решение. Определим предельные нормальные усилия, которые могут возникнуть в стержнях системы:
=
114 кН; 
= 85,5 кН;
= 57 кН.
Для образования механизма рассматриваемой системы достаточно течения каких-либо двух стержней. Возможны три механизма разрушения.
Первый механизм разрушения. Пусть текут стержни 2 и 3, а стержень 1 работает еще
в упругой стадии (рис. 8.1.3, б). Проводим ось а–а, перпендикулярную направлению
нормальной силы N1. Проектируем все силы на эту ось: 
и определяем
Второй механизм разрушения. Пусть текут стержни 1 и 3, а стержень 2 работает в упругой стадии (рис. 8.1.3, в). Проводим ось б–б, перпендикулярную направлению оси стержня 2. Проектируем все силы на эту ось:
и находим
При возникновении второго механизма разрушения стержень 2 будет вращаться вокруг шарнира А (рис. 8.1.3, а), следовательно, стержень 1 будет растягиваться, а стержень 3 сжиматься (рис. 8.1.3, в). В этом случае полагаем, что Nu3 = 0, т.е. его влияние идет в запас прочности конструкции, так как предполагаем, что сжатый стержень теряет устойчивость и в нем нормальные напряжения не достигают значения предела текучести.
Третий механизм разрушения. Пусть текут стержни 1 и 2, а стержень 3 работает в упругой стадии (рис. 8.1.3, г). Проводим ось в–в, перпендикулярную направлению оси стержня 3. Проектируем все силы на эту ось:
,
откуда
Истинное значение предельной нагрузки будет наименьшим из полученных трех нагрузок Fu1, Fu2, Fu3:
Задача 8.1.6. Дана плоская шарнирно-стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса ВD, опертого на шарнирную опору О (рис. 1.5.2). Брус BD прикреплен к двум стержням BB1 и CC1 при помощи шарниров. Площади поперечных сечений стержней ВВ1 и СС1 принять равными А. Предел текучести материала стержней ВВ1 и СС1 – σу. Определить предельную нагрузку Fu.
Ответ: Fu = Aσу.
Задача 8.1.7. Три стержня с одинаковыми площадями поперечных сечения А прикреплены шарнирно к абсолютно жесткой балке ВС (рис. 1.5.3). Обозначив предел текучести материала стержней через σу, определить предельную нагрузку Fu.
Ответ: Fu = 3Aσу.
Задача 8.1.8. Определить предельную нагрузку Fu для стержневой
системы, представленной на рис. 1.5.5. При расчете принять предел текучести материала
стержней = 2900 кг/см2, брус BD – абсолютно жесткий.
Ответ: Fu = 67,67 т = 663,8 кН.
Задача 8.1.9. Определить предельную
нагрузку Fu для системы, изображенной на рис. 8.1.4. Система состоит из четырех
стальных стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром. Площади поперечных
сечений всех стержней одинаковы и равны А = 4 см2. Предел текучести стали принять
= 2900 кг/см2.
Ответ: Fu = 36,496 т = 358 кН.
Задача 8.1.10. Определить предельную нагрузку Fu для
стержневой системы, показанной на рис. 8.1.5. Площади поперечных сечений заданы
и равны А1 = 5,5 см2; А2 = 2,2 см2; А3 = 3 см2, а предел текучести стальных стержней
= 250 МПа.
Ответ: Fu = 212,7 кН.
Задача 8.1.11. Абсолютно жесткая балка СD подвешена на трех стальных стержнях, площади поперечных сечений которых равны
А1 =1 см2; А2 = 2 см2; А3 = 3 см2 (см. рис. 1.5.6).
Предел текучести стали принять σу = 285 МПа. Определить предельную нагрузку Fu.
Ответ: Fu = min{152; 171; 228}=152 кН.
