Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

К вынужденным колебаниям приводит непрерывное воздействие на механическую систему внешней периодической силы, например, изменяющейся по гармоническому закону

  , (7.4.1)

где Р0 – амплитуда, т.е. максимальное значение возмущающей силы, W – круговая частота ее изменения.

Амплитуда вынужденных колебаний системы Авын рассчитывается по формуле

  (7.4.2)

где yst – перемещение y системы, которое вызвало бы статическое приложение максимального значения Р0 возмущающей силы;

  (7.4.3)

– коэффициент нарастания колебаний (без затухания).

В расчетах на прочность систем, совершающих вынужденные колебания, используют динамический коэффициент kd , определяемый по формуле

  (7.4.4)

где – статическое перемещение y системы, вызванное ее собственным весом Р = mg.

С учетом закона Гука условие прочности для системы, совершающей вынужденные колебания, записывается следующим образом

  (7.4.5)

Здесь – статическое напряжение, вызванное собственным весом системы.

Задача 7.4.1. На двух двутавровых балках № 12 посередине установлен двигатель весом Q = 7 кН (рис. 7.4.1). Неуравновешенные массы двигателя условно заменены вра-щающимся со скоростью

n = 550 об/мин

грузом Q2 = 120 Н, радиус вращения которого R = 0,21 м.

Проверить прочность балок, приняв их длину l = 1,6 м, модуль упругости материала балок Е = 2·105 МПа, расчетное сопротивление стали изгибу, растяжению по пределу текучести Ry = 220 МПа.

Коэффициент условий работы балок gс = 1 (табл.1.1).

Решение. 1. Выписываем из сортамента (таблица III, a приложения) геометрические характеристики поперечного сечения двутавровой балки и устанавливаем вес Q1 одной балки: момент инерции Iz = 350 см4, момент сопротивления Wz = 58,4 см3, масса 1 м двутавра № 12 q = 11,5 кг/м. Масса одной балки m1 = ql = 11,5·1,6 = 18,4 кг; вес Q1 одной балки

Q1 = mg » 184 H.

В дальнейшем расчет проводится для одной балки (из двух).

2. Рассчитаем собственную круговую частоту колебаний w системы, для чего воспользуемся формулой (7.3.5)

где yst – прогиб посередине балки, вызванный весом Q /2 и весом балки Q1.

Следует учесть, что при расчете собственной частоты балки, как системы с одной степенью свободы, в расчет вводится приведенная масса

m1,pr = am1 .

 Для балки на двух опорах коэффициент привидения a = 17/35 » 0,5.

При расчете yst можно использовать известную в теории изгиба балок формулу

  (7.4.6)

которая в данной задаче принимает вид

  Таким образом, частота собственных колебаний системы равна

3. Рассчитаем максимальное напряжение sst в среднем сечении балки, нагруженной статически приложенными силами Q /2 и Q1 = qlg,

4. Рассчитаем коэффициент нарастания колебаний b по формуле (7.4.3), установив предварительно величину частоты Ω возмущающей силы

 

5. Рассчитаем динамический коэффициент kd, используя формулу (7.4.4).

 Для этого по известным из теории изгиба балок формулам определим прогибы: yst(Q2) – прогиб посередине балки, от статической сосредоточенной силы Р0, равной силе инерции груза Q2 /2

,

т.е., применяя формулу (7.4.6), находим

yst(Q,Q1) = yst(Q) + yst(Q1) – прогиб посередине балки, нагруженной статической сосредоточенной силой Q /2 и равномерно распределенной нагрузкой q = Q1 / l

  Определим отношение прогибов

Рассчитываем динамический коэффициент

6. Проверяем выполнение условия прочности (7.4.5)

МПа < 220 МПа.

Ответ: число оборотов двигателя n = 550 об/мин является безопасным для прочности балок.

Задача 7.4.2. Используя условия предыдущей задачи (кроме числа оборотов n), установить безопасный по прочности балок режим работы двигателя, т.е. определить допускаемое число оборотов.

Решение. Используем из решения предыдущей задачи отношение прогибов   не подставляя в него численного значения частоты Ω возмущающей силы

  Запишем условие прочности (7.4.5)

Далее решаем неравенство

  откуда

или  

Возможны 2 случая:

1-й случай:

2-й случай:

Ответ: допускаемое по прочности балок число оборотов двигателя

об/мин.

Задача 7.4.3. Решить задачу 7.4.2 при условии, что груз Q2 имеет величину Q2 = 60 Н.

Ответ: границы рабочих диапазонов: 

 n £ 1165 об/мин; n ³ 2035 об/мин.

Задача 7.4.4. Для условий задачи 7.4.1 установить зону числа оборотов двигателя, запретных из-за резонанса.

У к а з а н и е

 Зона резонансного состояния определяется соотношением

где w – собственная круговая частота колебаний системы.

Ответ: границы зоны резонанса:

nнижн = 1000 об/мин; nверх = 1860 об/мин.

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример 1.

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

Пример 2.

При интегрировании использованы тождественные преобразования подынтегральной функции, правила 2 и 3, табличная формула 2.


Лабораторный практикум по сопромату