Радикальный дизайн Кандинский Василий Васильевич
Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Упругие колебания систем с одной степенью свободы

Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.

Колебания, вызванные некоторым начальным воздействием и совершаемые затем под действием собственных сил упругости, называют свободными или собственными. Колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил, называются вынужденными.

В динамических расчетах важным понятием является число степеней свободы системы – наименьшее количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы в произвольный момент времени. Системами с одной степенью свободы будут такие, у которых для полной фиксации их геометрического состояния в любой момент времени достаточно знать один параметр, например, положение определенной точки.

В настоящем издании рассмотрены задачи только на незатухающие свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета и с учетом собственной массы системы.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса, например,

  (7.3.1)

где А0 – амплитуда, т.е. максимальное значение обобщенной координаты x при колебаниях системы (рис. 7.3.1); ω – круговая частота свободных колебаний (число колебаний за 2π секунд); (ωt + φ) – фаза колебаний; φ – начальная фаза колебаний, т.е. фаза в момент времени t = 0.

Промежуток времени между двумя последующими отклонениями упругой системы от положения равновесия одного знака называется периодом колебаний и обозначается буквой Т.

Период колебаний и круговая частота свободных колебаний связаны зависимостью

  (7.3.2)

Круговая частота ω связана с сосредоточенной массой m и жесткостью с системы зависимостью

  (7.3.3)

Жесткость системы – это сила, которая вызывает перемещение, равное единице. Часто масса колеблющейся системы считается постоянной, а упругая система линейной, для которой сила упругости Р = mg (g – ускорение свободного падения) пропорциональна соответствующему перемещению xst, т. е.

 P = c xst. (7.3.4)

Учитывая приведенные выше соотношения, можно записать формулы для круговой частоты и периода свободных колебаний, каждая из которых в том или ином случае может оказаться удобной при решении практических задач:

  (7.3.5)

  (7.3.6)

Возможны системы с несколькими упругими связями, каждая из которых имеет свою жесткость. На рис. 7.3.2, а показана схема механической системы с так называемым параллельным соединением упругих связей с жесткостями с1 и с2, а на рис. 7.3.2, б – с последовательным соединением упругих связей. Суммарные жесткости показанных систем рассчитываются по-разному.

При параллельном соединении упругих связей жесткость системы рассчитывается по формуле

  с = с1 + с2 , (7.3.7)

а при последовательном соединении

  (7.3.8)

В предыдущих формулах под массой m понимается масса груза, совершающего колебания, без учета собственной массы системы. Ниже такой подход принят в задачах 7.3.1–7.3.7. В остальных задачах принято, что масса m состоит из массы mг груза, совершающего колебания, и приведенной к точке распределенной собственной массы системы mпр

 m = mг + mпр, (7.3.9)

где mпр= αm0, m0 – истинная собственная масса системы; α – коэффициент привидения. Как и в п. 7.2, принимаем α = 1/30,33 – при продольных колебаниях систем, типа показанной на рис. 7.2.5, а; α = 17/350,5 – для изгибных колебаний шарнирно опертой балки на двух опорах (рис. 7.2.5, б); α = 33/1400,235 – для изгибных колебаний консоли (рис. 7.2.5, в).

 Задача 7.3.1. На конце стальной консоли длиной 1 м (рис. 7.3.3), выполненной из двутавра № 8, находится двигатель весом Р = 1230 Н.

Требуется определить частоты и периоды свободных колебаний системы – поперечных (изгибных) и продольных, пренебрегая собственным весом балки.

Решение. Изгибные колебания. Воспользуемся формулой (7.3.5) в виде   Здесь xst – прогиб конца консоли, нагруженной сосредоточенной силой Р. Воспользуемся известной в сопротивлении материалов формулой для этого прогиба 

В таком случае круговая частота изгибных колебаний

Период свободных изгибных колебаний равен

Продольные колебания. В этом случае xst – продольное перемещение свободного торца консоли, нагруженной осевой сосредоточенной сжимающей силой Р = 1230 Н. Это перемещение равно продольной абсолютной деформации стержня, которая рассчитывается по формуле:

В таком случае круговая частота продольных свободных колебаний балки равна

Рассчитываем период продольных свободных колебаний балки

Задача 7.3.2. Определить круговую частоту вертикальных симметричных колебаний кузова тележки общим весом Р= 80 кН, укрепленного на двух осях с помощью четырех рессор, каждая из которых имеет жесткость с1 = 2·105 Н/м. Расчетная схема конструкции представлена на рис. 7.3.4.

Решение. Воспользуемся формулой (7.2.5) в виде  и учтем, что в нашем случае параллельное соединение упругих связей, когда жесткости просто складываются, т.е. с = 4с1; кроме того, Р = mg. Таким образом, получаем следующее выражение для круговой частоты свободных колебаний системы:

Задача 7.3.3. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной дюралюминиевой балки круглого сечения и длиной 0,1 м, несущей на конце сосредоточенный груз Р = 70 Н. Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, площадь поперечного сечения балки А = 5·10–6 м2 (рис. 7.3.5).

Ответ: ω = 7,65 с–1; Т = 0,82 с.

Задача 7.3.4. Вычислить круговую частоту и период свободных продольных колебаний консольного дюралюминиевого стержня круглого сечения и длиной 0,1 м (рис.7.3.6), размещенного вертикально и несущего на конце сосредоточенный груз Р = 70 Н. Модуль продольной упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, площадь поперечного сечения стержня А = 5·10–6 м2.

Ответ: ω = 700 с–1 ; Т = 0, 009 с.

Задача 7.3.5. Вычислить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной стальной балки квадратного поперечного сечения со стороной а = 0,02 м и длиной 0,5 м (рис. 7.3.5), несущей на конце сосредоточенный груз весом Р = 160 Н. Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 62,8 с–1; Т = 0,1 с.

Задача 7.3.6. На невесомой балке (рис. 7.3.7) пролетом l = 5 м находится двигатель массой m = 2000 кг на расстоянии а = 2 м от левой опоры. Определить круговую частоту и период свободных колебаний системы, если сечение балки – двутавр № 24, модуль упругости материала балки Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 40 с–1; Т = 0,157 с.

Задача 7.3.7. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стержня круглого переменного сечения, к нижнему концу которого прикреплен груз весом Р = 40 кН (рис. 7.3.8). Диаметры по участкам равны: d1 = 0,02 м; d2 = 0,03 м; d3 = 0,04 м. Длины участков l1 = 0,5 м; l2 = 0,75 м; l3 = 1,0 м. Весом стержня пренебречь. Модуль упругости материала балки Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 120 с–1; Т = 0,0523 с.

Задача 7.3.8. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стального стержня квадратного поперечного сечения со стороной а = 0,02 м и длиной 2 м, несущего на конце массу mг = 150 кг. Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа, плотность ρ = 7,75 г/см3 (рис. 7.3.9).

Решение. Как ранее отмечалось, в данном случае масса системы складывается из массы mг груза и приведенной к точке распределенной собственной массы стержня mo , т.е.

m = mг + αmо,

где mо = ρlA, α = 0,33.

Жесткость с найдем как силу, вызывающую единичную абсолютную деформацию стержня:

,  поэтому

Далее используем формулу для расчета круговой частоты свободных колебаний

Рассчитываем период свободных колебаний

 Задача 7.3.9. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стального стержня с площадью поперечного сечения А = 0,008 м2 и длиной участков l1 = = 0,4 м, l2 = 0,6 м, несущего на конце массу mг = 200 кг (рис. 7.3.10). Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа, ее плотность ρ = 7,75 г/см3 . В расчете учесть собственную массу стержня.

У к а з а н и е. Учесть, что в данной системе имеет место параллельное соединение упругих связей.

Ответ: ω = 1744 с–1; Т = 0,0036 с.

 Задача 7.3.10. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной дюралюминиевой балки круглого поперечного сечения диаметром d = 5 см и длиной l = 2 м, несущей на конце сосредоточенную массу mг = 20 кг. Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, его плотность ρ= 2,8 г/см3 (рис. 7.3.11).

 В расчете учесть собственную массу балки.

Ответ: ω = 18,8 с–1; Т = 0,33 с.

Задача 7.3.11. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний однопролетной дюралюминиевой балки круглого поперечного сечения диаметром d = 5 см и длиной l = 2 м, несущей посередине сосредоточенную массу mг = 20 кг (рис. 7.3.12). Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, плотность ρ = 2,8 г/см3.

В расчете учесть собственную массу балки.

Ответ: ω = 71 с–1; Т = 0,088 с.

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример 1.

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

Пример 2.

При интегрировании использованы тождественные преобразования подынтегральной функции, правила 2 и 3, табличная формула 2.


Лабораторный практикум по сопромату