Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок Axit kola a rámy author impulse 29 vamvelosiped.ru.

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Упругие колебания систем с одной степенью свободы

Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.

Колебания, вызванные некоторым начальным воздействием и совершаемые затем под действием собственных сил упругости, называют свободными или собственными. Колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил, называются вынужденными.

В динамических расчетах важным понятием является число степеней свободы системы – наименьшее количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы в произвольный момент времени. Системами с одной степенью свободы будут такие, у которых для полной фиксации их геометрического состояния в любой момент времени достаточно знать один параметр, например, положение определенной точки.

В настоящем издании рассмотрены задачи только на незатухающие свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета и с учетом собственной массы системы.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса, например,

  (7.3.1)

где А0 – амплитуда, т.е. максимальное значение обобщенной координаты x при колебаниях системы (рис. 7.3.1); ω – круговая частота свободных колебаний (число колебаний за 2π секунд); (ωt + φ) – фаза колебаний; φ – начальная фаза колебаний, т.е. фаза в момент времени t = 0.

Промежуток времени между двумя последующими отклонениями упругой системы от положения равновесия одного знака называется периодом колебаний и обозначается буквой Т.

Период колебаний и круговая частота свободных колебаний связаны зависимостью

  (7.3.2)

Круговая частота ω связана с сосредоточенной массой m и жесткостью с системы зависимостью

  (7.3.3)

Жесткость системы – это сила, которая вызывает перемещение, равное единице. Часто масса колеблющейся системы считается постоянной, а упругая система линейной, для которой сила упругости Р = mg (g – ускорение свободного падения) пропорциональна соответствующему перемещению xst, т. е.

 P = c xst. (7.3.4)

Учитывая приведенные выше соотношения, можно записать формулы для круговой частоты и периода свободных колебаний, каждая из которых в том или ином случае может оказаться удобной при решении практических задач:

  (7.3.5)

  (7.3.6)

Возможны системы с несколькими упругими связями, каждая из которых имеет свою жесткость. На рис. 7.3.2, а показана схема механической системы с так называемым параллельным соединением упругих связей с жесткостями с1 и с2, а на рис. 7.3.2, б – с последовательным соединением упругих связей. Суммарные жесткости показанных систем рассчитываются по-разному.

При параллельном соединении упругих связей жесткость системы рассчитывается по формуле

  с = с1 + с2 , (7.3.7)

а при последовательном соединении

  (7.3.8)

В предыдущих формулах под массой m понимается масса груза, совершающего колебания, без учета собственной массы системы. Ниже такой подход принят в задачах 7.3.1–7.3.7. В остальных задачах принято, что масса m состоит из массы mг груза, совершающего колебания, и приведенной к точке распределенной собственной массы системы mпр

 m = mг + mпр, (7.3.9)

где mпр= αm0, m0 – истинная собственная масса системы; α – коэффициент привидения. Как и в п. 7.2, принимаем α = 1/30,33 – при продольных колебаниях систем, типа показанной на рис. 7.2.5, а; α = 17/350,5 – для изгибных колебаний шарнирно опертой балки на двух опорах (рис. 7.2.5, б); α = 33/1400,235 – для изгибных колебаний консоли (рис. 7.2.5, в).

 Задача 7.3.1. На конце стальной консоли длиной 1 м (рис. 7.3.3), выполненной из двутавра № 8, находится двигатель весом Р = 1230 Н.

Требуется определить частоты и периоды свободных колебаний системы – поперечных (изгибных) и продольных, пренебрегая собственным весом балки.

Решение. Изгибные колебания. Воспользуемся формулой (7.3.5) в виде   Здесь xst – прогиб конца консоли, нагруженной сосредоточенной силой Р. Воспользуемся известной в сопротивлении материалов формулой для этого прогиба 

В таком случае круговая частота изгибных колебаний

Период свободных изгибных колебаний равен

Продольные колебания. В этом случае xst – продольное перемещение свободного торца консоли, нагруженной осевой сосредоточенной сжимающей силой Р = 1230 Н. Это перемещение равно продольной абсолютной деформации стержня, которая рассчитывается по формуле:

В таком случае круговая частота продольных свободных колебаний балки равна

Рассчитываем период продольных свободных колебаний балки

Задача 7.3.2. Определить круговую частоту вертикальных симметричных колебаний кузова тележки общим весом Р= 80 кН, укрепленного на двух осях с помощью четырех рессор, каждая из которых имеет жесткость с1 = 2·105 Н/м. Расчетная схема конструкции представлена на рис. 7.3.4.

Решение. Воспользуемся формулой (7.2.5) в виде  и учтем, что в нашем случае параллельное соединение упругих связей, когда жесткости просто складываются, т.е. с = 4с1; кроме того, Р = mg. Таким образом, получаем следующее выражение для круговой частоты свободных колебаний системы:

Задача 7.3.3. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной дюралюминиевой балки круглого сечения и длиной 0,1 м, несущей на конце сосредоточенный груз Р = 70 Н. Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, площадь поперечного сечения балки А = 5·10–6 м2 (рис. 7.3.5).

Ответ: ω = 7,65 с–1; Т = 0,82 с.

Задача 7.3.4. Вычислить круговую частоту и период свободных продольных колебаний консольного дюралюминиевого стержня круглого сечения и длиной 0,1 м (рис.7.3.6), размещенного вертикально и несущего на конце сосредоточенный груз Р = 70 Н. Модуль продольной упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, площадь поперечного сечения стержня А = 5·10–6 м2.

Ответ: ω = 700 с–1 ; Т = 0, 009 с.

Задача 7.3.5. Вычислить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной стальной балки квадратного поперечного сечения со стороной а = 0,02 м и длиной 0,5 м (рис. 7.3.5), несущей на конце сосредоточенный груз весом Р = 160 Н. Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 62,8 с–1; Т = 0,1 с.

Задача 7.3.6. На невесомой балке (рис. 7.3.7) пролетом l = 5 м находится двигатель массой m = 2000 кг на расстоянии а = 2 м от левой опоры. Определить круговую частоту и период свободных колебаний системы, если сечение балки – двутавр № 24, модуль упругости материала балки Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 40 с–1; Т = 0,157 с.

Задача 7.3.7. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стержня круглого переменного сечения, к нижнему концу которого прикреплен груз весом Р = 40 кН (рис. 7.3.8). Диаметры по участкам равны: d1 = 0,02 м; d2 = 0,03 м; d3 = 0,04 м. Длины участков l1 = 0,5 м; l2 = 0,75 м; l3 = 1,0 м. Весом стержня пренебречь. Модуль упругости материала балки Е = 2·105 МПа.

Ответ: ω = 120 с–1; Т = 0,0523 с.

Задача 7.3.8. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стального стержня квадратного поперечного сечения со стороной а = 0,02 м и длиной 2 м, несущего на конце массу mг = 150 кг. Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа, плотность ρ = 7,75 г/см3 (рис. 7.3.9).

Решение. Как ранее отмечалось, в данном случае масса системы складывается из массы mг груза и приведенной к точке распределенной собственной массы стержня mo , т.е.

m = mг + αmо,

где mо = ρlA, α = 0,33.

Жесткость с найдем как силу, вызывающую единичную абсолютную деформацию стержня:

,  поэтому

Далее используем формулу для расчета круговой частоты свободных колебаний

Рассчитываем период свободных колебаний

 Задача 7.3.9. Определить круговую частоту и период свободных продольных колебаний стального стержня с площадью поперечного сечения А = 0,008 м2 и длиной участков l1 = = 0,4 м, l2 = 0,6 м, несущего на конце массу mг = 200 кг (рис. 7.3.10). Модуль продольной упругости стали Е = 2·105 МПа, ее плотность ρ = 7,75 г/см3 . В расчете учесть собственную массу стержня.

У к а з а н и е. Учесть, что в данной системе имеет место параллельное соединение упругих связей.

Ответ: ω = 1744 с–1; Т = 0,0036 с.

 Задача 7.3.10. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний консольной дюралюминиевой балки круглого поперечного сечения диаметром d = 5 см и длиной l = 2 м, несущей на конце сосредоточенную массу mг = 20 кг. Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, его плотность ρ= 2,8 г/см3 (рис. 7.3.11).

 В расчете учесть собственную массу балки.

Ответ: ω = 18,8 с–1; Т = 0,33 с.

Задача 7.3.11. Определить круговую частоту и период свободных изгибных колебаний однопролетной дюралюминиевой балки круглого поперечного сечения диаметром d = 5 см и длиной l = 2 м, несущей посередине сосредоточенную массу mг = 20 кг (рис. 7.3.12). Модуль упругости дюралюминия Е = 7·104 МПа, плотность ρ = 2,8 г/см3.

В расчете учесть собственную массу балки.

Ответ: ω = 71 с–1; Т = 0,088 с.

Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример 1.

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

Пример 2.

При интегрировании использованы тождественные преобразования подынтегральной функции, правила 2 и 3, табличная формула 2.


Лабораторный практикум по сопромату