Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Упругий удар

Под ударом понимают резкое изменение скорости соприкасающихся тел в течение малого отрезка времени. Приближенная («техническая») теория удара базируется на двух основных гипотезах:

а) кинетическая энергия тела, производящего удар, полностью переходит в потенциальную энергию тела, по которому наносится удар (пренебрегают тепловой энергией и др.);

б) распределение напряжений и деформаций по объему тела при ударе принимается таким же, как и при статическом нагружении (пренебрегают волновыми процессами и др.).

Общий прием расчета напряжений и перемещений при ударе состоит в том, что, принимая гипотезу б), проводят статический расчет, а ударное воздействие учитывают динамическим коэффициентом kd , который рассчитывают на основе гипотезы а). Таким образом, динамический коэффициент представляет собой по существу отношение динамических величин (напряжений, перемещений) к соответствующим статическим, т.е.

   или  (7.2.1)

При ударе, вызванном падением некоторого груза с высоты Н на элемент конструкции, величина динамического коэффициента рассчитывается по формуле

  (7.2.2)

где Δst – статическое перемещение сечения элемента конструкции, вызванное силой веса падающего груза.

Так, при продольном ударе, например, от падения груза на конец призматического стержня (рис. 7.2.1)

При изгибном ударе, например, показанном на рис. 7.2.2, а, статический прогиб будет

а для случая, показанного на рис. 7.2.2, б, имеем


Можно показать, что при скручивающем ударе (рис. 7.2.3) получим

  Условие прочности при ударе имеет вид

 σd, max = σst, max kd Radm (7.2.3)

или 

 τd, max = τst, max kdτadm. (7.2.4)

Формула (7.2.2) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающего удар, мала и ею в расчете пренебрегают.

При необходимости учета массы тела, испытывающего удар, формула для расчета динамического коэффициента принимает вид

  (7.2.5)

где mг – масса падающего груза, mпр – приведенная масса тела, испытывающего удар, причем

 mпр = αm, (7.2.6)

где m – истинная (распределенная) масса тела; α – коэффициент привидения распределенной массы к точечной. Он определяется путем сравнения кинетической энергии тела с распределенной и с точечной массами. Коэффициент α зависит от вида удара (продольный, изгибный и т.п.) и от характера закрепления концов стержня.

Так, для консольной балки, испытывающей продольный удар (рис. 7.2.4, а), α = 0,33; для шарнирно опертой балки на двух опорах, испытывающей удар посередине (рис. 7.2.4, б), α = 17/350,5; для консольной балки, испытывающей изгибный удар (рис. 7.2.4, в),

 α = 33/1400,235 и т.д.

Задача 7.2.1. Груз весом Р = 2 кН, скользя без трения вдоль стального бруса, падает на приваренную к нему жесткую пластину и вызывает ударное растяжение бруса. Площадь поперечного сечения бруса А = 0,0005 м2 (рис. 7.2.5, а), его длина l = 1,8 м, модуль продольной упругости материала бруса Е = =2·105 МПа; высота падения груза Н равна 0,02 м.

Требуется определить максимальное нормальное напряжение в брусе в момент его наибольшей деформации. Собственной массой стального бруса, испытывающего удар, пренебречь.

  Решение. Определим величину Δst (рис. 7.5.2, б)

Рассчитываем динамический коэффициент, используя формулу (7.2.2)

Определяем статическое нормальное напряжение

Находим максимальное динамическое напряжение

σd,max = σst kd = 4·35,2 = 140,8 МПа.

Задача 7.2.2. Груз весом Р = 200 Н падает с высоты Н = 0,3 м посередине на шарнирно опертую двухопорную деревянную балку квадратного поперечного сечения со стороной а = 15 см и длиной l = 3 м. Рассчитать запас прочности балки, если модуль продольной упругости материала балки Е = 104 МПа, а предел прочности при расчете на изгиб RИ = 20 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Решение. Проводим статический расчет, т.е. определяем максимальное напряжение и перемещение в серединном сечении балки при нагружении ее статической сосредоточенной силой Р = 200 Н.

Максимальный изгибающий момент равен

Статический момент площади сечения равен

Определяем максимальное нормальное статическое напряжение

Статическое перемещение посередине балки определяем по известной из теории изгиба формуле

Рассчитываем динамический коэффициент

Находим динамическое напряжение

σd,max = σst,max kd = 0,266·48 = 12,77 МПа.

Запас прочности равен

Задача 7.2.3. Груз весом Р = 1 кН падает с высоты Н = 0,04 м на свободный конец консольной балки прямоугольного сечения 0,120,2 м и длиной 2 м. Модуль упругости материала балки Е = 104 МПа. Требуется рассчитать наибольшее нормальное напряжение в момент наибольшей деформации балки. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max = 15 МПа.

Задача 7.2.4. Найти максимальное нормальное динамическое напряжение в канате подъемника (рис. 7.2.6), спускающего груз Р = 2·104 Н со скоростью v =1 м/с при внезапном торможении наверху. Диаметр каната d = 0,02 м, его длина l = 10 м; собственным весом каната пренебречь. Модуль упругости материала каната Е = 1,6·105 МПа. Жесткость пружины спр = 5·105 Н/м.

У к а з а н и я

1) Использовать известное из физики соотношение v2 = 2gH.

2) Учесть, что полное статическое перемещение будет складываться из двух частей, связанных с деформацией каната и пружины.

Ответ: σd,max = 181 МПа.

Задача 7.2.5. Прямой призматический стержень, закрепленный одним концом (рис. 7.2.7) и имеющий длину 0,3 м, площадь поперечного сечения 0,0021 м2, на свободном конце принимает удар, кинетическая энергия которого равна 25 Н·м. Модуль упругости материала стержня Е = 2,1·105 МПа. 

Определить наибольшее нормальное динамическое напряжение и деформацию. Собственной массой стержня, испытывающего удар, пренебречь.

У к а з а н и е. Задачу решать, считая, что вся кинетическая энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации стержня.

Ответ: σd,max = 100 МПа; Δld,max = 0,00024 м.

Задача 7.2.6. Прямой призматический стержень закреплен одним концом (рис. 7.2.1), имеет длину 0,3 м, площадь поперечного сечения 0,0021 м2.

Вычислить кинетическую энергию удара и вызываемые им напряжения и деформации стержня, если удар происходит вследствие падения на стержень груза Р = 250 Н с высоты Н = 0,1 м. Модуль упругости материала стержня Е = 2,1·105 МПа. Собственной массой стержня, испытывающего удар, пренебречь.

Задачу решить:

а) в предположении, что деформацией стержня можно пренебречь по сравнению с высотой Н, и б) не делая упомянутого допущения и вычислив динамический коэффициент.

Ответ: а) σd,max = 100 МПа, Δld,max = 0,00024 м;

 б) σd,max = 100,1 МПа, Δld,max0,00024 м.

Задача 7.2.7. Найти динамическое нормальное напряжение в стальной двутавровой консольной балке (Iz = 2·10-5 м4, Wz = 2·10-4 м3, Е = 2·105 МПа) длиной 2 м при ударе по ее свободному концу грузом Р = 1,2 кН, сброшенным с высоты Н = 0,08 м. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max = 182 МПа.

Задача 7.2.8. Вычислить, с какой высоты Н1 падает на конец консольной балки груз Р = 1,2 кН, если в защемлении возникает динамическое нормальное напряжение σd,max = 240 МПа. Известно, что при высоте падения Н = 0,08 м и σst,max = 12 МПа динамическое напряжение имеет величину σd,max = 182 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: Н1 = 0,144 м.

Задача 7.2.9. На конец стальной консольной балки длиной 1 м с высоты Н = 0,05 м падает груз Р = 480 Н.

 Поперечное сечение балки имеет следующие геометрические характеристики: осевой момент инерции Iz = 20 000 см4, осевой момент сопротивления  Wz = 200 см3. Модуль упругости материала стержня Е = 2·105 МПа. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в балке. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max =120 МПа.

Задача 7.2.10. Груз весом Р = 80 Н, скользя без трения вдоль стального бруса (Е = 2·105 МПа), падает на прикрепленную к брусу жесткую пластину и вызывает ударное растяжение бруса (см. рис. 7.2.5).

Длина бруса l = 2м, площадь поперечного сечения А = 0,0004 м2; плотность материала бруса ρ = 8г/см3, расчетное сопротивление стали бруса Rу= 100 МПа. Требуется определить высоту падения бруса: а) без учета массы стержня и б) с учетом массы стержня.

Ответ: а) Н = 0,25 м; б) Н = 0,315 м.

Задача 7.2.11. Груз весом Р = 400 Н падает с высоты Н = 0,3 м на свободный конец консольной деревянной балки квадратного поперечного сечения 0,30,3 м и длиной 2 м. Модуль упругости материала балки Е = =104 МПа, его плотность ρ = 0,6 г/см3. Требуется определить максимальный динамический прогиб, учитывая собственную массу балки.

Ответ: Δd,max = 0,0076 м.

Задача 7.2.12. На середину двутавровой балки № 20 на двух опорах длиной 2 м падает с высоты Н = 0,04 м груз весом Р = 4 кН. Вычислить наибольшие динамические нормальные напряжения в балке: а) без учета массы балки и б) с учетом массы балки. Принять Е = 2·105 МПа.

Ответ: а) σd, max = 209,5 МПа, б) σd, max = 204,1 МПа.

Задача 7.2.13. На чугунную подставку квадратного поперечного сечения 0,30,3 м и длиной 1,5 м с высоты Н = 0,4 м падает груз Р = 6 кН. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в подставке с учетом ее собственной массы. Модуль продольной упругости материала подставки (чугун) Е = 1,27·105 МПа, плотность чугуна ρ = 7,1 г/см3 (рис. 7.2.8).

Ответ: σd, max = 63,9 МПа

Задача 7.2.14. На конец стальной консольной балки весом Рб = 250 Н и длиной 1 м с высоты 0,05 м падает груз Р = 520 Н. Поперечное сечение балки имеет следующие геометрические характеристики: осевой момент инерции Iz = 20000 см4, осевой момент сопротивления Wz = 200 см3. Модуль продольной упругости материала балки Е = 2,0·105 МПа. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в балке с учетом ее собственной массы.

Ответ: σd, max = 120 МПа.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Лабораторный практикум по сопромату