Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Определение критических сил при помощи энергетического метода

  Энергетический метод основан на использовании теоремы Лагранжа – Дирехле о полной потенциальной энергии.

 Рассмотрим порядок расчета для энергетического метода:

 1. Задаются уравнением новой формы равновесия в виде одного или нескольких членов ряда, удовлетворяющих краевым условиям:

  При выборе функции у кинематические граничные условия (прогибы, углы поворота) должны быть удовлетворены обязательно. Статическим граничным условиям (изгибающим моментам, поперечным силам) удовлетворять не обязательно, однако для получения более точных результатов – крайне желательно. Имеются специальные таблицы для выбора уравнений криволинейной формы равновесия стержня, потерявшего устойчивость. Например, в табл.6.4.1 приведены данные для трех видов стержней.

 Таблица 6.4.1

Схема

стойки

Нижний (левый) конец

Верхний (правый) конец

Уравнение криволинейной формы равновесия прямых стержней

y(0)

y/(0)

y(l)

y/(l)

0

0

-

-

0

-

0

-

Fcr

 

0

-

0

-

 2. Вычисляем полную потенциальную энергию П системы при переходе из новой формы равновесия в первоначальную:

  (6.4.1)

где rii – жесткость упругой связи, Н/м; ai – линейная деформация (удлинение или укорочение) упругой связи, Fcr,k – неизвестное значение критической силы и – перемещение, на котором критическая сила Fcr,k совершает работу.

 Принимая во внимание дифференциальное уравнение упругой оси балки  и выражение , формулу (6.4.1) можно представить в виде:

  (6.4.2)

 3. Определяем экстремальное значение потенциальной энергии из уравнений: 

  4. Приравнивая детерминант из коэффициентов при параметрах an нулю, определяем критические силы, число которых равно числу параметров an. Если используется точное выражение ординаты у искривленной оси, то получим точное значение критической силы. В основном критические силы получаются несколько завышенными.

 Задача 6.4.1. Определить критическую силу для прямого стержня, находящегося в упругой среде с коэффициентом податливости, равным k (рис. 6.4.1).

  Решение. Уравнение криволинейной формы равновесия прямого стержня берем из табл. 6.4.1 в виде:

 .

 Для вычисления полной потенциальной энергии по формуле (6.4.2) предварительно необходимо вычислить  и

а затем

  и

 Подставляя полученные значения в формулу (6.4.2), находим

  Из последнего выражения определяем

,

где m – число полуволн при потере устойчивости. Значение m, при котором Fcr равна минимальному значению, зависит от коэффициента податливости k упругого основания (Н/м2). При малом k можно принять m = 1.

 Продолжим исследование и предположим, что  тогда

  откуда

 Таким образом, если  то необходимо принимать m = 1,

если , то m > 1.

 Задача 6.4.2. Определить значение критической силы при помощи энергетического метода для абсолютно жесткой системы, изображенной на рис. 6.4.2. Жесткость двух упругих связей – одинакова и обозначена через k.

 Решение. Пусть система потеряла устойчивость и заняла новое положение. Так как стержни – абсолютно жесткие, то они не будут изгибаться, а останутся прямыми. В результате потери устойчивости на упругих опорах возникнут опорные реакции R = ka, где а – вертикальное отклонение концов горизонтального участка системы. На такое же расстояние а переместится в горизонтальном направлении верхний конец системы вместе с критической силой Fcr, а в вертикальном направлении перемещение верхнего конца системы составит (рис. 5.3.2)

  Кроме того, имеем, что  откуда  Тогда формула (6.4.1) примет вид:

 

 Из последнего выражения определяем

 Задача 6.4.3. Определить при помощи энергетического метода критическую силу для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.3. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl.

  Задача 6.4.4. Определить энергетическим методом критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.7. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl2/h.

 Задача 6.4.5. Определить энергетическим методом критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.6. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl/2.

  Задача 6.4.6. Определить энергетическим методом критическую силу для сжатого прямого стержня, один конец которого жестко заделан, а другой свободен. Длина стержня – l. Жесткость на изгиб в обоих направлениях поперечного сечения равна EI.

  У к а з а н и е

 Уравнение криволинейной формы равновесия рассчитываемого стержня взять из табл. 6.4.1.

 Ответ: .

 Задача 6.4.7. Определить энергетическим методом значения критических сил для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.2. Жесткости верхней и нижней упругих связей (пружин) равны k.

 Ответ: Fcr,1 = kl/2; Fcr,2 =.

 Задача 6.4.8. Два бесконечно жестких стержня связаны между собой шарниром (рис. 6.3.1) и оперты на упругие пружины, жесткость которых равна k. Определить критическое значение сжимающей силы с применением формулы для потенциальной энергии (6.4.1).

 Ответ: Fcr,1 = 0,38kl ; Fcr,2 = 2,63kl.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Лабораторный практикум по сопромату