Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Практические расчеты стержней на устойчивость

 Расчет на устойчивость сплошностенных элементов, подверженных центральному сжатию силой N, следует выполнять по формуле:

  (6.2.1)

где φ – коэффициент продольного изгиба, определяемый по табл. 6.2.1,

γс – коэффициент условий работы, принимаемый по национальным нормам (см., например, табл. 1.1). Для получения коэффициента  необходимо предварительно определить гибкость  по формуле (6.1.4).

 Расчетные длины lef элементов плоских ферм при направлении продольного изгиба в плоскости фермы следует определять по формулам:

 lef = 0,8l, (6.2.2)

 lef = l, (6.2.3)

где расчетная длина (6.2.2) принимается для элементов решетки ферм, а расчетная длина (6.2.3) принимается для поясов, опорных раскосов и опорных стоек; l – геометрическая длина элемента (расстояние между центрами узлов) в плоскости фермы.

 Радиусы инерции i поперечных сечений элементов из одиночных уголков следует принимать при расчетной длине lef = l в виде i = imin, в остальных случаях i = ix или i = iy в зависимости от направления продольного изгиба.

 Расчет на устойчивость деревянных конструкций, подверженных центральному сжатию силой N, необходимо выполнять по формуле:

  (6.2.4)

где Aef – расчетная площадь поперечного сечения элемента, которая принимается равной: 1) при ослаблениях, не выходящих за кромки элемента, если их площадь не превышает 25% от А, то Aef = А; 2) при ослаблениях, не выходящих за кромки элемента, если их площадь превышает 25% от А, то Aef = 1,33Аn; 3) при симметричных ослаблениях, выходящих за кромку, Aef= = Аn; φ – коэффициент продольного изгиба, принимаемый по табл.6.2.1 в зависимости от гибкости λ; RС – расчетное сопротивление древесины осевому сжатию

 Расчет элементов неармированных каменных конструкций при центральном сжатии следует производить по формуле:

где N – расчетная продольная сила, R – расчетное сопротивление сжатию кладки,  – коэффициент продольного изгиба, определяемый по табл. 6.2.2, А – площадь сечения элемента, mд – коэффициент, учитывающий влияние длительной нагрузки. Если

 Коэффициент продольного изгиба для элементов постоянного по длине сечения принимается по табл.6.2.2 в зависимости от гибкости элемента

или для прямоугольного сплошного сечения в зависимости от отношения

  В последних двух формулах imin – наименьший радиус инерции сечения элемента, h – меньший размер прямоугольного сечения.


Задача 6.2.1. Для стального стержня с заданной формой поперечного сечения (рис. 6.2.1), сжатого силой N = 500 кН, требуется найти размеры поперечного сечения. Материал стержня – сталь C255. Длина стального стержня l = 4 м. Принять, что коэффициент условий работы .

 Решение. Определяем

  (6.2.5) 

  (6.2.6)

   (6.2.7)

 Принимая в качестве первого приближения , получаем из формулы (6.2.1):

  Используя формулу (6.2.5), находим 1,44а2 = 0,00417, тогда геометрический параметр а = 0,0538 м. Из выражения (6.2.7) определяем

imin = 0,3325a == 0,01789 м.

 Формула (6.1.4) дает  

 Материал стержня – сталь С255, следовательно, В этом случае из табл. 6.2.1 находим для  Разница между  и  значительная, поэтому повторяем расчет, принимая

 

а по формуле (6.2.7) находим: imin = 0,3325a == 0,0225 м. Затем из выражения (6.1.4) определяем:

 Из табл. 6.2.1 для стали с  и берем  Разница между  и  составляет

  Повторяем расчет в третий раз, принимая

тогда  Разница между и составляет 6,6%. 

 Обычно считается, что разница не должна превышать 5%, поэтому, повторяя расчет в четвертый раз, получаем ; А4 = 0,00833 м2; а = = 0,0761 м; imin = 0,0253 м;  В этом случае разница между   и получилась равной 0%. Следовательно, принимаем за окончательный результат значение а = 0,0761 м. Напряжение в поперечном сечении стержня (рис. 6.2.1) равно при этом

  Задача 6.2.2. Определить допускаемую нагрузку сжатого стержня из стали С245, имеющего прямоугольное сечение 46 см. Концы стержня закреплены шарнирно. Длина стержня l = 80 см, а

 Ответ: Nadm = 443,35 кН.

 Задача 6.2.3. Определить критическую Fcr и допускаемую Nadm нагрузку для стержня из равнобокого уголка 10010010 мм. Материал стержня – сталь С245. Длина стержня l = 1,5 м (рис. 6.1.2), а

 Ответ: Fcr = 162,35 кН; = 152; Nadm = 126,82 кН.

 Задача 6.2.4. Подобрать диаметр сплошного стержня из стали С285. Стержень сжат продольной силой N = 20 кН. Концы стержня закреплены шарнирно. Длина стержня l = 100 см, а коэффициент условий работы

 Ответ: d = 2,288 см.

 Задача 6.2.5. Подобрать элемент решетки фермы с l = 100 см. Продольная сила N = 50 кН. Элемент решетки принять в виде одиночного равнобокого уголка. Материал решетки – сталь С245,

 Решение. Согласно условию задачи определяем lef по формуле (6.2.2):  Для стали C245 имеем . Принимая в качестве первого приближения  из условия (6.2.1) находим

  Из сортамента (табл.VI) выбираем равнобокий уголок 45455 мм с = 4,29 см2. Так как , то в качестве imin принимаем ix = 1,37 см, тогда гибкость стержня = 80/1,37 = 58. В этом случае из табл. 6.2.1 определяем  Разница между   и – значительная, поэтому повторяем расчет, принимая = (0,5 + 0,812)/2 = 0,656.

 Следовательно, условие (6.2.1) дает А2 = 2,083/0,656 = 3,18 см2. Выбираем равнобокий уголок 40404 мм с = 3,08 см2 и imin = ix =1,22 см. В этом случае = 80/1,22 = 66, а .

 Напряжение в поперечном сечении стержня получается при этом

.

  По формуле (6.2.1) находим

  Недонапряжение составляет (186 – 62)100% / 186 = 13%. Делаем еще одну попытку. Принимаем новое среднее значение коэффициента продольного изгиба = (0,7744 + 0,656) / 2 = 0,7152, тогда А3 = 2,91 см2. Выбираем уголок 36364 мм с = 2,75 см2 и imin = ix = 1,09 см. Тогда 80/1,09 = 74, а  В этом случае

  Перенапряжение составляет (182 – 175)100% / 175 = 4% < 5%, что допустимо. Окончательно, для элемента решетки фермы оставляем равнобокий уголок 36364 мм.

 Задача 6.2.6. Определить величину допускаемой нагрузки на деревянную стойку высотой 5 м и сечением 1822 см. Концы стойки закреплены шарнирно. Материал стойки – сосна с RС = 14 МПа (см. табл. 5).

 Ответ: Nadm = 187,4 кН.

 Задача 6.2.7. Определить величину допускаемой нагрузки на деревянную стойку круглого поперечного сечения с радиусом r =10 см и высотой 3м. Материал стойки – сосна с RС = 14 МПа. Один конец стойки жестко защемлен, а другой – свободен.

  Ответ: Nadm = 111 кН.

 Задача 6.2.8. Определить величину допускаемой нагрузки на деревянную стойку высотой 5 м и сечением 1822 см. Концы стойки закреплены шарнирно. Материал стойки – сосна с RС = 14 МПа (см. табл. 5). Стойка ослаблена отверстиями диаметром 4 см (рис. 6.2.2).

 Ответ: Nadm = 187,4 кН.

 Задача 6.2.9. Составной стальной стержень длиной 5 м состоит из двух швеллеров № 20, соединенных вплотную (рис. 6.2.3). Определить допустимую сжимающую нагрузку, если оба конца стержня шарнирно закреплены. Материал швеллеров – сталь с  

 Решение. Расчет составных элементов из уголков, швеллеров и т.п., соединенных вплотную или через прокладки, следует выполнять как сплошностенчатых. Находим 

  Определяем гибкость сжатого составного элемента по формуле (6.1.4):

  а из табл. 6.2.1 находим  = 0,2284. И, наконец, из формулы (6.2.1) определяем при :

  Для сравнения найдем критическую силу для рассматриваемой сжатой стальной стойки (). Имеем  следовательно, используем формулу Эйлера (6.1.1):

  Задача 6.2.10. Поперечное сечение составного стального стержня длиной 5 м показано на рис. 2.3.9. Определить допустимую и критическую сжимающие нагрузки, если оба конца стержня шарнирно закреплены. Материал – сталь с , а  

 Ответ: Nadm = 2010 кН; Fcr = 2538 кН.

 Задача 6.2.11. Определить допускаемую Nadm и критическую Fcr нагрузку для сжатого стержня из двутавра № 30. Длина стержня – 6 м. Один конец его жестко заделан, а другой – шарнирно закреплен. Материал – сталь с , а  

 Ответ: Nadm = 287 кН; Fcr = 388 кН.

 Задача 6.2.12. Определить допускаемую продольную силу для чугунной стойки (чугун СЧ 15) диаметром 30 см и длиной 4,5 м. Оба конца стойки соединены с опорами шарнирно,

 Ответ: Nadm = 4974 кН.

 Задача 6.2.13. Определить допустимую нагрузку Nadm центрально сжатого участка стены таврового поперечного сечения (рис. 2.2.16). Концы участка стены закреплены шарнирно (), высота участка – 5 м. Кладка выполнена из кирпича марки 300 на тяжелых растворах при марке раствора 150 (R = 3,6 МПа), mд = 1.

  Ответ: xc = 0,44 м;  imin= 0,29 м;  

 Nadm = 3298 кН.

 Задача 6.2.14. Определить допустимую нагрузку Nadm центрально сжатого участка стены высотой 4,3 м. Концы участка стены закреплены шарнирно (). Кладка выполнена из глиняного кирпича марки 100 на растворе марки 50 (см. раздел «Физико-механические характеристики некоторых конструкционных материалов», табл. 3), mд = 1 (рис. 2.2.16).

 Ответ: А = 0,9244 м2;  Nadm= 1382 кН.

 Задача 6.2.15. Определить допустимую нагрузку Nadm центрально сжатого столба высотой 5 м. Нижний конец столба заделан в фундамент, верхний конец – свободен. Поперечное сечение – прямоугольное с размерами 5164 см. При расчете принять R = 2 МПа, mд = 1.

 Ответ: А = 0,326 м2;  Nadm = 482 кН.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Лабораторный практикум по сопромату