Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Совместное действие изгиба и кручения

Для выявления опасного сечения при совместном действии изгиба и кручения строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов по правилам глав 3 и 4. Вопрос о прочности стержня в этом случае решается с помощью тех или иных критериев прочности. Условия прочности имеют вид:

  по критерию наибольших нормальных напряжений:

  по критерию наибольших относительных деформаций:

  по критерию наибольших касательных напряжений:

  по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

.

На основе приведенных соотношений могут быть выведены формулы для расчета, например, диаметров валов круглого сечения. Так, формулы для расчетных диаметров имеют вид:

  по критерию наибольших касательных напряжений:

 ; (5.3.1)

 по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

  (5.3.2)

Задача 5.3.1. Рассчитать радиус круглого цилиндрического вала с прямой осью, несущего два шкива, весом каждый по 1 кН и с одинаковыми диаметрами D = 0,5 м. Длина вала l = 0,5 м (рис. 5.3.1). Натяжение в ведущих ремнях Р1 = 0,8 кН, в ведомых Р2 = 0,2 кН. Ремни левого шкива расположены вертикально, правого – горизонтально, Radm = 65 МПа. Собственным весом вала пренебречь. Использовать критерии прочности наибольших касательных напряжений и удельной потенциальной энергии формоизменения.

Решение. Определяем величину внешних усилий (моментов пар сил и сосредоточенных сил), передаваемых на вал со стороны шкивов. Величина внешних скру-чивающих моментов МI и MII определится разностью натя-жений в ремнях:

MI  = 800·0,25 – 200·0,25 = 150 Н·м; MII = 200·0,25 – 800·0,25 = –150 Н·м.

Кроме кручения вал испытывает изгиб в вертикальной плоскости от веса шкивов G1 = G2 = 1 кН и от суммарной силы натяжения в ремнях левого шкива РI = 0,8 + 0,2 = 1 кН, а также изгиб в горизонтальной плоскости от суммарной силы натяжения в ремнях правого шкива РII = 0,8 + 0,2 = 1 кН. Схема загружения вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а также эпюры крутящего момента Т и изгибающих моментов Мв и Мг показаны на рис. 5.3.2. Самым напряженным является сечение, где расположен левый шкив и в котором

Т = 150Н·м, Мв = 180Н·м;

Мг = 20Н·м.

  Для расчета диаметра вала воспользуемся формулами (5.3.1) и (5.3.2), имея в виду, что в них

.

В результате получим по критерию наибольших касательных напряжений:

= 0,0342 м = 3,42 см;

по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

Вал, рассчитанный по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения, более экономичен.

Задача 5.3.2. Схема нагружения вала рулевой машины представлена на рис. 5.3.3. Требуется подобрать диаметр вала, используя критерий наибольших касательных напряжений (dI ) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), и считая Radm = 30 МПа.

Ответ: dI =0,266 см; dII =0,26 см.

Задача 5.3.3. Керамическая труба подвержена действию крутящего момента Т = 0,08 кН·м и изгибающего момента  М = 0,06 кН·м. Определить запас прочности трубы, если предел прочности материала σut = 100 МПа, наружный диаметр трубы D = 0,05 м, внутренний d = 0,04 м. Расчет вести по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения.

У к а з а н и е. Запасом прочности nВ считать отношение предела прочности к расчетному сопротивлению.

Ответ: nВ = 8,7.

Задача 5.3.4. Вал со шкивами диаметрами D1 = 0,4 м и D2 = 0,6 м (рис. 5.3.4) вращается со скоростью n0 = 100 об/мин и передает мощность

U = 30 кВт.

Собственный вес левого шкива G1 = 2 кН, правого шкива G2 = 3 кН, собственным весом вала пренебречь. Ремни левого шкива направлены вертикально, правого – горизонтально. У обоих шкивов натяжение в ведущем ремне вдвое больше, чем в ведомом. Рассчитать диаметр вала (единый по длине), используя критерий наибольших касательных напряжений (dI ) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), и считая Radm = 80 МПа.

У к а з а н и е. Для расчета скручивающего момента Мк нужно воспользоваться формулой (3.2.2):

  (U в кВт),

Ответ: dI = 10,5 см; dII = 10,4 см.

 Задача 5.3.5. Стержень с ломаной осью и диаметром D = 0,1 м одним концом защемлен, а на другом нагружен силой F = 5 кН. Размеры участков стержня указаны на рис. 5.3.5. Найти эквивалентное напряжение, используя критерий удельной потенциальной энергии формоизменения.


Ответ: = 109 МПа.

Задача 5.3.6. Пользуясь критерием наибольших касательных напряжений, подобрать диаметр стального вала лебедки (рис. 5.3.6) грузоподъемностью F = 40 кН при невыгоднейшем положении груза. Диаметр посаженного на вал барабана D = 0,4 м. Расстояние между осями подшипников вала равно 1 м. Допускаемое напряжение Radm = 100 МПа.

Ответ: d = 10,9 см.

Задача 5.3.7. Подобрать диаметры вала на участках АВ и СD для коленчатого вала, нагруженного так, как показано на рис. 5.3.7. Использовать критерий наибольших касательных напряжений (dI) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), считая Radm =80 МПа. Принять F = 2 кН, а = 0,1 м.

Ответ: dI = 3,08 см; dII = 3,04 см.

Задача 5.3.8. Построить эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показанного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу.

 Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) диаметр d круглого сплошного поперечного сечения стального бруса, считая, что Radm = Ry = 240 МПа.

 Решение. При решении задачи введем следующие обозначения:

ось х будем всегда направлять вдоль продольных осей прямолинейных элементов пространственного бруса (рис. 5.3.8, а);

изгибающие моменты будем обозначать как Мz(АВ) – изгибающий момент относительно оси z в точке А элемента АВ, или Мz(ВА) – изгибающий момент относительно оси z в точке В элемента ВА и т.д.;

внутренние усилия будем обозначать как Qz(АВ) – поперечная сила, действующая вдоль оси z в пределах элемента АВ; или N(СВ) – нормальная сила в пределах участка СВ.


Элемент СD. При определении усилий в элементе СD будем использовать систему координат xyz, изображенную на рис. 5.3.8, а около элемента СD. Мысленно проводя сечение в любом месте элемента СD и отбрасывая часть пространственного бруса, содержащую опору А, находим для оставшейся части:

Mx(CD) = My(CD) = My(DC) = Mz(DC) = N(CD) =

= Qz(CD) =0; Mz(CD) = F1a3 = 0,4 кН·м.

  Значение Mz(CD) = 0,4 кН·м откладываем на эпюре Mz в точке С со стороны растянутого волокна в плоскости изгиба хОу (рис. 5.3.8, г). Далее определяем Qy(CD) = F1 =1 кН и откладываем на участке СD эпюры Qy в плоскости изгиба хОу в направлении оси у (рис. 5.3.8, д).

 Элемент СВ. Система координат для рассматриваемого элемента показана на рис. 5.3.8, а. Используя метод сечений и, отбрасывая часть пространственного бруса с опорой А, определяем Mx(CВ) = F1a3 = 0,4 кН·м;

My(CВ) = Mz(CВ) = N(СB) = 0; My(ВC) = F3a2 = = 0,3 кН·м;

Mz(ВC) = F1a2 = = 0,3 кН·м.

 Значение Mx(CВ) откладываем на эпюре Mx (рис. 5.3.8, б), значение My(ВC) – на эпюре My в точке В, значение Mz(ВC) = 0,3 кН·м откладываем на эпюре Mz в точке В со стороны растянутого волокна элемента СВ в плоскости его изгиба хОу (рис. 5.3.8, г). Затем находим Qy(СВ) = F1 =1 кН, Qz(СВ)= = F3 =1 кН и откладываем эти значения на эпюрах Qy, Qz соответственно в соответствующих плоскостях (рис. 5.3.8, д, е).

 Элемент АВ. Для этого элемента, согласно рис. 5.3.8, а, находим

Mx(AB) = F3a2 =  = 0,3 кН·м; My(BA) = F1a3 = –1·0,4 = 0,4 кНм;

My(AB) = –F1a3 – F3a1 – F2a1 = –1·0,4 – 1·0,2 – 2·0,2 = –1 кН·м; Qy(AB) = 0;

Mz(AB) = Mz(BA) = –F1a2 = –1·0,3 = –0,3 кН·м; Qz(AB) = F2 + F3 = 3 кН;

N(AB) = –F1 = –1 кН.

Все полученные числовые значения откладываем на соответствующих эпюрах. Из полученных эпюр видно, что наиболее опасным поперечным сечением будет сечение на опоре А, в котором действуют N(AB)= N = –1 кН;

Мх(АВ) = Мх = 0,3 кН·м; Му(АВ) = Му = 1 кН·м; Mz(AB) = Mz = 0,3 кН·м;


Qz(AB) = Qz =3 кН (рис. 5.3.9). На рис. 5.3.9, а показаны характерные точки 1÷4 круглого поперечного сечения, а на рис. 5.3.9, б представлены нормальные и касательные напряжения, действующие в этих точках. Принимая во внимание, что

  ,

и применяя формулы, приведенные в главе 4, находим

    (а)

 Таким образом, при известном диаметре d пространственного бруса по формулам (а) можно вычислить все действующие напряжения, которые затем легко просуммировать согласно рис. 5.3.9, б:

  

  

  

   (б)

 Если диаметр неизвестен, то в первом приближении по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) его можно вычислить по формуле (5.3.1):

 

r = 0,0178 м. Выше мы учли только изгибающие и крутящий моменты действующие в сечении А (рис. 5.3.9), поэтому примем r = 0,018 м = 1,8 см.

 Проверим прочность в точке 4, используя последние формулы (б),

  Проверим прочность в точке 3, также используя соответствующие формулы (б):

Определим положение нулевой линии в поперечном сечении А, для чего воспользуемся формулой (5.2.1), которую для вычисления положения нулевой линии следует записать в виде:

   (в)

Нейтральная линия пересекает ось z в точке с координатами у = 0, zo, тогда из уравнения (в) находим

откуда определяем 

 Ось у пересекается нулевой линией в точке с координатами уо, z = 0, следовательно,

а 

Задача 5.3.9. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения  пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу. Эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показаны на рис. 5.3.8, б – е, ж. Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а Radm = Ry = 240 МПа.

 Решение. Из приведенных эпюр видно, что наиболее опасным поперечным сечением будет сечение на опоре А, в котором действуют

N(AB) = N = –1 кН; Мх(АВ) = Мх = 0,3 кН·м; Му(АВ) = Му = 1 кН·м;

Mz(AB) = Mz = 0,3 кН·м; Qz(AB) = Qz = 3 кН

(рис. 5.3.10, а). На рис. 5.3.10 показаны характерные точки 1–3 прямоугольного поперечного сечения.


У к а з а н и я. Задачи на кручение прямых брусьев некруглого поперечного сечения решаются методами теории упругости. При решении заданной задачи будем использовать приближенный метод, который заключается в следующем.

  Вводятся параметры: Ik = αb4 – геометрическая характеристика крутильной жесткости,  Wk = βb3 – момент сопротивления при кручении. Коэффициенты α, β определяются по табл. 5.1 в зависимости от величины отношения k = h/b сторон прямоугольного поперечного сечения.

 При h/b > 10 можно пользоваться упрощенными формулами:

Ik = hb3/3, Wk = Ik /b = hb2/3.

 Наибольшие касательные напряжения от крутящего момента Мх будут возникать в середине длинных сторон (точка 3 в поперечном сечении, показанном на рис. 5.3.10, б)

  (а)

 Касательные напряжения в серединах коротких сторон прямоугольного сечения определяют по формуле

   (б)

 Касательные напряжения в угловых точках прямоугольного поперечного сечения равны нулю (рис. 5.3.10, б).

Таблица 5.1

h/b

α

β

γ

h/b

α

β

γ

1,0

1,5

2,0

3,0

0,140

0,294

0,457

0,790

0,208

0,346

0,493

0,801

1,000

0,859

0,795

0,793

4,0

6,0

8,0

10,0

1,123

1,789

2,456

3,123

1,150

1,789

2,456

3,123

0,745

0,743

0,742

0,742

 Рассмотрим поочередно три точки (1÷3). Будем учитывать только действие моментов Мх, Му, Mz, а действием нормальной N и поперечной Qz сил пренебрежем. Запишем условие прочности применительно к точке 1:

,

откуда определяем ширину поперечного сечения

  (в)

 Если предположить, что точка 2 (рис. 5.3.10) является опасной, то условие прочности по критерию максимальных касательных напряжений будет выглядеть следующим образом

откуда и находим ширину поперечного сечения

  (г)

Применяя III теорию прочности для точки 3

,

определяем третье возможное значение ширины бруса

  (д)

Применительно к рассматриваемой задаче для k = h/b = 2 из табл. 5.1 выписываем β = 0,493; γ = 0,795 и по формулам (в), (г), (д) получаем

 

 

 

Из полученных трех значений ширины бруса выбираем наибольшее, следовательно, b = 2,26 см; h = 2b = 4,52 см. Площадь прямоугольного поперечного сечения будет равна А = 10,21 см2.

Аналогичный брус (рис. 5.3.8), но с круглым поперечным сечением был рассчитан в задаче 5.3.8, где был вычислен допускаемый диаметр круглого сплошного сечения d = 3,6 см, следовательно, его площадь поперечного сечения равна А =  

Задача 5.3.10. Построить эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показанного на рис. 5.3.11. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу, a = 0,2 м.

 Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) диаметр d круглого сплошного поперечного сечения стального бруса, считая, что F = 1 кН, Radm = Ry = 240 МПа.


Ответ: d = 2,29 см.

 Задача 5.3.11. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения   пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.12. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу, a = 0,2 м.

Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а q = 5 кН/м, Radm = Ry = 240 МПа.

 У к а з а н и е. При решении задачи необходимо использовать указания, содержащиеся в задаче 5.3.9.

Ответ: b(3) = 1,5 см; h = 3 см.

Задачи 5.3.12; 5.3.13. Для пространственных стержней, представленных на рис. 5.3.13, 5.3.14, требуется построить эпюры крутящих и изгибающих моментов, поперечных сил.


Опорами пространственных брусьев являются подшипники, которые препятствуют линейным перемещениям в направлении двух осей z и у.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Лабораторный практикум по сопромату