Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Внецентренное растяжение и сжатие бруса большой жесткости. Ядро сечения

 Жестким брусом называют брус, у которого прогибы малы по сравнению с размерами сечений и этими прогибами можно в расчете пренебречь. Внецентренное растяжение или сжатие возникает при приложении к брусу продольной силы с некоторым эксцентриситетом относительно центра тяжести поперечного сечения (рис. 5.2.1). Загружение стержня продольной силой, приложенной вне центра тяжести сечения, эквивалентно загружению стержня центральной силой N = F и двумя моментами (рис. 5.2.2)

Mz = Fey и My = Fez.

От всех внутренних усилий N, Mz, и My в сечениях возникают нормальные напряжения, направленные перпендикулярно сечению. Для определения полного напряжения они алгебраически суммируются:

  (5.2.1)

где снова «знак» плюс соответствует растяжению, знак «минус» – сжатию.

Условие прочности для внецентренного растяжения или сжатия имеет вид

  (5.2.2)

причем если материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию , то при положительной сумме слагаемых она сравнивается с Rt , при отрицательной – с Rс.

Нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) – это прямая, не проходящая через центр тяжести сечения. Строить эту прямую удобно с помощью отрезков a0 и b0, отсекаемых на осях координат (рис. 5.2.3.)

Формулы для расчета этих отрезков имеют вид:

  (5.2.3) 

В этих формулах величины ey и ez , как уже отмечалось, являются координатами точки приложения силы F, т.е. берутся со своими знаками.

Область вокруг центра тяжести, внутри которой приложение силы вызывает во всех точках сечения напряжения одного знака, называется ядром сечения. Для определения ядра сечения необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура и вычислить координаты точек приложения силы ey и ez, используя формулы (5.2.3).

Задача 5.2.1. Найти допускаемую нагрузку для бруса, показанного на рис. 5.2.4, если расчетные сопротивления материала бруса на растяжение и сжатие равны

Radm,t = 20 МПа; Radm,с = 100 МПа.

Решение. Запишем условие прочности для наиболее напряженных точек любого сечения бруса, так как все сечения равноопасны:

Перепишем эти условия, учитывая, что

  и , тогда

  и 

Отсюда определяем значения допустимых нагрузок:

= 64000 Н = 64 кН.

= 192000 Н = 192 кН.

 Окончательно в качестве допустимой внешней нагрузки принимаем

Fadm = 64 кН.

Задача 5.2.2. Построить эпюру нормальных напряжений и определить положение нейтральной линии в прямоугольном поперечном сечении короткого столба, нагруженного вертикальной сосредоточенной силой F, приложенной так, как показано на рис. 5.2.5.

Решение. Эксцентриситеты силы F будут равны:

 Произведя приведение силы к центру, получим

  Схема загружения поперечного сечения показана на рис. 5.2.6. Нормальные напряжения в угловых точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 5.2.7), для которых y = ymax и z = zmax, подсчитывают по формуле

причем знаки слагаемых устанавливают в зависимости от того, растяжение или сжатие вызывает в данной точке соответствующий силовой фактор:

 

  Эпюра напряжений в поперечном сечении изображена на рис. 5.2.7.

Для определения положения нейтральной линии воспользуемся формулами (5.2.3):

 

Нейтральная линия показана на рис.5.2.8. Она отсекает отрезки в четвертой четверти координатной системы, показанной на рис. 5.2.8.

Задача 5.2.3. Как изменится эпюра напряжений и положение нейтральной линии, если силу F задачи 5.2.2 переместить по диагонали к центру тяжести прямоугольника на расстояние, равное одной четверти диагонали, т.е. если принять еz = b/4, еy = h/4.

Ответ: σ(1) = σmax = 4F/A; σ(2) = σ(4) = F/A; σ(3) = –2F/A.

Задача 5.2.4. Для круглого поперечного сечения с радиусом R ядро сечения представляет собой соосный круг меньшего радиуса r = R/4. Доказать, что при приложении к круглому поперечному сечению внешней силы на расстоянии, равном радиусу R от центра кругов, нейтральная линия коснется контура ядра сечения.

Задача 5.2.5. Построить ядро сечения для прямоугольника с высотой h и шириной b. Главная ось z направлена параллельно стороне с высотой h.

У к а з а н и е . Учесть, что предельными будут такие положения нейтральных линий, при которых эти линии совпадут с контурами сечения.

Ответ: ядро сечения – ромб с большой диагональю, расположенной на оси z и равной h/3, малой – на оси y и равной b/3.

Задача 5.2.6. Найти наибольшие напряжения в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 стального крюка постоянного круглого сечения диаметром d = 0,032 м, несущего груз F = 8 кН (рис. 5.2.9).

Ответ: σ1-1,max = 9,95 МПа; σ2-2,max = 159 МПа.

Задача 5.2.7. Вычислить наибольшее по абсолютной величине напряжение в шарнирно опертой балке прямоугольного поперечного сечения b×h = 0,04×0,06 м с пролетом l = 3 м и загруженной как показано на рис. 5.2.10.

Ответ: σ = 210,5 МПа.

Задача 5.2.8. При испытании на внецентренное растяжение стального бруса прямоугольного поперечного сечения b×h = 0,005 м×0,06 м поставлены три тензометра Т1, Т2, Т3 с одинаковыми коэффициентами увеличения k = 1000 и базой 20 мм (рис. 5.2.11). Вычислить какие приращения отсчетов Δi должны показать тензометры при ступени нагрузки F = 12 кН, если эксцентриситет сосредоточенной силы F равен еy = 0,015 м, а модуль упругости материала Е = 2·105 МПа?

Ответ: Δ1 = 10 мм; Δ2 = 4 мм;

 Δ3 = –2 мм.

Задача 5.2.9. Насколько в процентах увеличится напряжение в короткой стойке квадратного поперечного сечения со стороной а, сжатой центрально приложенной силой F, если в ней сделать врубку, как показано на рис. 5.2.12? Насколько изменится напряжение, если сделать две симметричные врубки?

Ответ: на 70,2%; на 33,3%.

Задача 5.2.10. Определить максимально допустимое значение усилия, передаваемого со струбцины (рис. 5.2.13) на абсолютно жесткое тело К, чтобы деформации в струбцине оставались упругими. Поперечное сечение струбцины прямоугольное b×h = 0,006 м × 0,025 м, размер с = 0,075 м, предел упругости материала струбцины

σpr = 200 МПа.

 Ответ: Fadm = 1,58 кН.

 Задача 5.2.11. На рис. 5.2.14 изображено поперечное сечение бруса и показаны центры тяжести четырех простых элементов, составляющих это поперечное сечение.

 Требуется построить яд-ро сечения для заданного поперечного сечения.

 Решение. Найдем положение центра тяжести всего поперечного сечения. Главная ось у совпадает с осью симметрии сечения. Вычислим пло-щади четырех простых элементов:

А1 = 0,6·1,4/2 = 0,42 м2; А2 = 0,5·1,4 = 0,7 м2; А3 = 0,8·0,6 = 0,48 м2; 

А4 = π0,32/2 = 0,1413 м2.

 Площадь всего поперечного сечения будет А = А1+А2+А3+А4 = 1,74 м2.

  Положение главной оси z относительно случайной оси z/ находим по формуле (2.1.6):

  Определим главные моменты инерции относительно осей у и z:

  Вычисляем квадраты радиусов инерции поперечного сечения:

 Нейтральная линия проходит через точки с координатами z = 0, у = bо и z = ао, у = 0, которые можно вычислить при помощи формул (5.2.3). Эти формулы для рассматриваемого случая примут вид:

   (а)

 Если внешняя сила приложена в пределах ядра сечения, то во всем сечении будут нормальные напряжения одного знака. Предположим, что нулевая линия проходит через точки 1 и 2 поперечного сечения, следовательно, bo = 1,016 м; tgα = 0,7/0,6; ао = bo tgα = 1,016·0,7/0,6 = 1,185 м.

  Из формул (а) находим эксцентриситеты точки приложения сосредоточенной силы

  Откладываем эти координаты на рис. 5.2.14 и находим точку О1-2. Таким образом, если приложить силу в точке О1-2, то нулевая линия будет проходить через сторону 1 – 2 поперечного сечения. Следовательно, во всем сечении будут нормальные напряжения одного знака.

 Теперь предположим, что нулевая линия проходит через точки 2 и 3 поперечного сечения. В этом случае ао = 0,7 м; bo = , а формулы (а) дают

  По этим координатам строим точку О2-3 (рис. 5.2.14).

 Далее предположим, что нулевая линия проходит через точки 3 и 4, причем в точке 4 она является касательной линией к круговому контуру поперечного сечения. Значения ао и bo в этом случае можно вычислить теоретически, но это будет довольно сложной операцией, поэтому ограничимся непосредственным измерением ао и bo на рис. 5.2.14, т.е. определим их графически: ао = 0,74 м, а bo = –1,62 м. Тогда

  По этим координатам строим точку О3-4.

 Проводим нулевую линию через точку 5 параллельно оси z, тогда ao = =, bo = –yC = –1,184 м. По формулам (а) находим координаты точки О5, где по предположению должна быть приложена сила внецентренного сжатия или растяжения,

  Наконец, проводим нулевую линию через точку 1 параллельно оси z. В этом случае bo = 1,016 м; ао =. Точка О1 – точка приложения силы – будет иметь координаты:

  Точки О1, О1-2, О2-3, О3-4 соединяем прямыми линиями, а точки О3-4 и О5 – выпуклой кривой линией. Учитывая симметрию поперечного сечения, продолжаем построения дальше. Внутренняя область, ограниченная построенной линией, будет являться ядром заданного поперечного сечения.

При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где   многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' '' (см. пример 17).

В интегралах вида

  за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные.


Лабораторный практикум по сопромату