Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Определение перемещений при помощи интеграла Мора

 Формула для определения перемещений, называемая интегралом Мора, имеет вид

  (4.6.1)

 Для вычисления линейного перемещения в произвольной точке балки с помощью формулы (4.6.1) необходимо выполнить последовательно следующие операции:

составить уравнения изгибающих моментов М от заданной нагрузки для каждого участка балки;

к рассматриваемой балке приложить силу, равную единице, в той точке, где определяется перемещение. Единичная сила прикладывается по предполагаемому направлению этого перемещения;

составить уравнения изгибающих моментов от единичной силы для каждого участка балки;

вычислить сумму интегралов (4.6.1) от произведения обоих моментов М и, деленного на жесткость поперечного сечения балки (EI).

 Для вычисления угла поворота поперечного сечения к рассматриваемой балке следует приложить единичный сосредоточенный момент, а затем составлять уравнения изгибающих моментов.

 По способу (правилу) Верещагина операция интегрирования (4.6.1) заменяется перемножением площади первой эпюры М на ординату второй эпюры  под центром тяжести первой.

 У к а з а н и я

  1. Произведение площади одной эпюры на ординату другой считается положительным, если площадь и ордината расположены по одну сторону от оси балки.

 2. Если в пределах рассматриваемого участка обе эпюры (М и) линейны, то безразлично площадь какой эпюры брать, а на какой эпюре – ординату.

  3. Если одна из эпюр (М) криволинейна, а вторая – ломаная, следует разбить вторую эпюру () на отдельные участки, в пределах которых она линейна.

 4. Если обе эпюры ломаные и границы участков у них не совпадают, то надо разбить обе эти эпюры на одинаковое число линейных участков, чтобы в пределах этих полученных участков обе эпюры были линейные и границы участков совпадали.

  5. Для перемножения двух трапециевидных эпюр (рис. 4.6.1) удобно использовать формулу

  (4.6.2)

 6. На рис. 4.6.2 приведены значения площадей некоторых нелинейных эпюр и координаты их центров тяжести. Этими данными необходимо пользоваться, если балка загружена равномерно распределенной по длине нагрузкой или треугольной распределенной нагрузкой.

 7. Если значение перемещения  получилось со знаком минус, то это указывает, что реальное перемещение рассматриваемой точки противоположно выбранному направлению единичной силы.

 Эпюру изгибающих моментов М от заданной нагрузки обычно называют грузовой, а эпюру – единичной.

 Задача 4.6.1. Определить вертикальное перемещение точки В консольной балки, изображенной на рис. 4.6.3.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней сосредоточенной силы F:  МВ = 0, МА = –F2l (эпюра линейная).


По условию задачи требуется определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, поэтому строим единичную эпюру  от действия вертикальной единичной силы Fi = 1, приложенной в точке В.

 Учитывая, что консольная балка состоит из двух участков с разной жесткостью на изгиб, эпюры и М перемножаем с помощью правила Верещагина по участкам отдельно. Эпюры М ипервого участка перемножаем по формуле (4.6.2), а эпюры второго участка – как площадь эпюры М второго участка Fl2/2 на ординату 2l/3 эпюры  второго участка под центром тяжести треугольной эпюры М этого же участка.

 В этом случае формула (4.6.1) дает:

  Задача 4.6.2. Определить вертикальное перемещение точки В однопролетной балки, изображенной на рис. 4.6.4. Балка имеет постоянную по всей длине жесткость на изгиб EI.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней распределенной нагрузки: МА = 0; MD = 0;

.

  Прикладываем в точке В единичную вертикальную силу Fi = 1 и строим эпюру (рис. 4.6.4):

откуда

Ra = 2/3;  откуда Rd = 1/3, поэтому Ma = 0; Md = 0; .

 Разделим рассматриваемую балку на 3 участка. Перемножение эпюр 1-го и 3-го участков не вызывает трудностей, так как перемножаем треугольные эпюры. Для того чтобы применить правило Верещагина ко 2-му участку, разобьем эпюру М 2-го участка на две составляющие эпюры: прямоугольную и параболическую с площадью (рис. 4.6.2). Центр тяжести параболической части эпюры М лежим посередине 2-го участка.


Таким образом, формула (4.6.1) при использовании правила Верещагина дает:

  Задача 4.6.3. Определить вертикальное перемещение уА точки А консольной балки, изображенной на рис. 4.2.4.

 Ответ: yA = 224Fl3/(Ed 4).

 Задача 4.6.4. Определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m на конце консоли (рис. 4.4.4). Балка имеет постоянную по длине жесткость на изгиб EIz.

  Ответ: yB = ml2/(2EIz).

 Задача 4.6.5. Определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q и с постоянной жесткостью на изгиб EIz (рис. 4.4.5).

 Ответ: yB = ql4/(8EIz).

  Задача 4.6.6. Определить вертикальное перемещение уВ точки В однопролетной балки, изображенной на рис. 4.2.3. Балка – прямоугольного поперечного сечения .

  Ответ: yB = Fl3/(4bh3E).

 Задача 4.6.7. Определить вертикальное перемещение уС точки С однопролетной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI (рис. 4.1.17).

  У к а з а н и е. Необходимо учитывать изменение знака в эпюре изгибающих моментов М, поэтому рассматривая эпюру М на рис. 4.1.17 и построив эпюру , согласно рис. 4.6.1 в формуле (4.6.2) для перемножения эпюр первого участка необходимо положить:

a = –Fl; c = Fl/3; b = 0; d = 2l/3.

 Ответ: уС = 0.

  Задача 4.6.8. Определить вертикальное перемещение уВ и угол поворота   точки В консольной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб (рис. 4.4.6).

  Ответ: yB = 3ml2/(2EI); = ml/(EI).

 Задача 4.6.9. Определить вертикальное перемещение уВ и угол поворота   точки В однопролетной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб (рис. 4.4.7).

  Ответ: yB = 0; = ml/(12EI).

 Задача 4.6.10. Определить вертикальное перемещение уС и угол поворота   точки С консольной балки с постоянной жесткостью EIz на изгиб (рис. 4.4.8). Определить также уА и  в точке А.

 Ответ: = q[(a + b)3 – a3]/(6EIz);

 yC = q{3(a + b)4 – 3a4 – 4a3b + 4c[(a + b)3 –a3]}/(24EIz);

  = qab(a + b)/(2EIz), yA = qa2b(4a + 3b)/(12EIz).

  Задача 4.6.11. Определить максимальный прогиб консольной балки из электросварной прямошовной трубы с наружным диаметром D = 168 мм и толщиной стенки t = 6 мм, заделанной одним концом (см. табл.II раздела IV «Приложения»). Прогиб определить от действия собственного веса трубы. Длина консоли – 5 м. Проверить прочность консольной балки из стали С255, = 1.

 Ответ: ymax = 0,9 см;= 24,7 МПа; = 0,8 МПа.

 Задача 4.6.12. Определить горизонтальное смещение опорной точки В ломаного стержня (рамы), изображенного на рис. 4.6.5. Жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EI.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней силы F. Для этого предварительно определим опорные реакции:

  откуда H=F;  откуда Vb=2F;

тогда Va = 2F.


В этом случае для эпюры изгибающих моментов М получаем: МА = 0, МD = МВ = 0 (рис. 4.6.5, б).

  По условию требуется определить горизонтальное смещение хВ опорной точки В рамы, поэтому прикладываем единичную горизонтальную силу Fi = 1 в точке В (рис. 4.6.5, в). Затем строим единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 4.6.5, г) от единичной силы.

 Перемножая эпюры М и  на соответствующих участках рамы (см. формулу (4.6.1)) окончательно находим

 Задача 4.6.13. Определить горизонтальное смещение хС точки С рамы, изображенной на рис. 4.6.5, а. Жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EI.

 Ответ: хС = 4Fl3/(EI).

 Задача 4.6.14. Определить горизонтальное смещение хA точки A ломаного бруса, показанного на рис. 4.6.6. Жесткость на изгиб всех участков ломаного бруса постоянна.

 Ответ: хА = 2Fl3/(3EI).

  Задача 4.6.15. Определить углы поворота поперечных сечений на опорах ломаного бруса, изображенного на рис. 4.6.6. Жесткость на изгиб всех участков ломаного бруса постоянна и равна EI.

 Ответ:

 Задача 4.6.16. Определить вертикальное перемещение поперечного сечения с абсциссой х = l/2 (рис. 4.6.6). Жесткость на изгиб всех участков ломаного бруса постоянна и равна EI.

 Ответ: y = Fl3/(16 EI) при x = l/2.

 Задача 4.6.17. Определить максимальный прогиб консольной балки, показанной на рис. 4.1.20. Жесткость балки на изгиб – EI.

 Ответ: yB = ql4/(30 EI).

 Задача 4.6.18. Определить угол поворота поперечного сечения консольной балки в точке В (рис. 4.1.20). Жесткость балки на изгиб – EI.

  Ответ:

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Лабораторный практикум по сопромату