Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Дифференциальное уравнение изгиба балок

 Дифференциальное уравнение изгиба упругой оси балки имеет вид

  (4.4.1)

где у = у(х) – уравнение изогнутой оси балки после деформации; М = Мz – изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки; EI – жесткость балки на изгиб, I = Iz – осевой момент инерции относительно нейтральной оси z (рис. 4.2.1).

 Интегрируя дифференциальное уравнение (4.4.1), находим угол поворота оси х (угловое перемещение) в произвольном поперечном сечении балки:

  (4.4.2)

а затем и прогиб (линейное перемещение) произвольного поперечного сечения балки:

  (4.4.3)

где С, D – произвольные постоянные интегрирования, которые находятся при удовлетворении граничных условий в линейных или угловых перемещениях.

 У к а з а н и я

 1. Уравнения (4.4.1) – (4.4.3) составляются для каждого участка балки. Участком балки называется такая ее часть, в пределах которой законы изменения внешней нагрузки остаются постоянными. В пределах одного участка закон изменения изгибающего момента M = Mz можно выразить одной формулой.

  2. Для удобства вычисления произвольных постоянных интегрирования С и D необходимо записывать закон изменения изгибающего момента для каждого участка произвольной балки (рис. 4.4.1) в виде

  

  (4.4.4)

  В этом случае угол поворота  оси балки получаем после интегрирования полученных выше выражений (4.4.4): 

 

 

   (4.4.5)

 Интегрируя еще раз, получаем искомый прогиб балки в виде формул для каждого участка отдельно:

 

   (4.4.6)

 Из формул (4.4.4)(4.4.6) видно, что при записи закона изменения изгибающего момента сосредоточенный момент необходимо брать с плечом в степени нуль, например, для первого участка Интегрирование производить, не раскрывая скобок. Только после получения окончательного результата (4.4.6) можно раскрывать скобки и производить алгебраические упрощения.

 Задача 4.4.1. Определить максимальный прогиб однопролетной балки, изображенной на рис. 4.4.2. Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EI.

  Решение. Определяем опорные реакции RA, RB. С учетом симметрии находим RA = RB = ql/2.

 Мысленно проводим сечения в каждом из трех участков рассматриваемой балки. Сечения имеют абсциссы х1, х2 и х3, так как начало координат помещено в точке А.

 Запишем значения изгибающих моментов в каждом из проведенных сечений:

 

  При определении МIII учитывалось, что распределенную нагрузку q необходимо продолжить вправо на всю длину балки, а на третьем участке необходимо ввести компенсирующую нагрузку, противоположную по направлению заданной и с той же интенсивностью q. Проведенная операция с распределенной нагрузкой q не влияет на напряженно-деформированное состояние балки, но дает преимущества при вычислении произвольных постоянных С и D.

 Интегрируем полученные выражения согласно формуле (4.4.2) с учетом указаний (4.4.5):

 

   (4.4.7)

 Интегрируя еще раз полученные зависимости, получаем значения прогибов для каждого участка балки:

 

  (4.4.8)

 Для определения постоянных интегрирования С и D необходимо поставить два граничных условия. Рассматривая балку на рис. 4.4.2, замечаем, что прогибы на опорах А и В равны нулю, так как шарнирно подвижная В и шарнирно неподвижная А опоры препятствуют вертикальному перемещению концов балки. Следовательно, граничные условия можно записать как: при х1 = 0 имеем уI = 0 и при х3 = 2a + l имеем уIII = 0.

 Применительно к формулам (4.4.8) получаем, что при x1 = 0 имеем yI = =D = 0, откуда D = 0, а при x3 = 2a + l имеем

откуда, принимая 2a + l = L, находим:

  Подставляя полученное выражение для C и D = 0 в формулы (4.4.8), определяем

  Подставляя выражение для определения С и равенство D = 0 в формулы (4.4.7), получим формулы для вычисления углов поворота поперечных сечений балки для каждого участка.

  По условию задачи требуется определить максимальный прогиб балки. С учетом симметрии балки (рис. 4.4.2) делаем вывод, что уmax будет посередине второго участка или что то же самое в середине пролета балки. Для вычисления уmax используем формулу для прогибов второго участка при x2 = L/2 или x2 = a + l/2:

  Полагая a = 0, l = L из полученной формулы можно получить максимальный прогиб в середине пролета балки (рис. 4.2.6), полностью загруженной равномерно распределенной нагрузкой q

 Подставляя значение x2 = L/2 или x2 = a + l/2, находим угол поворота поперечного сечения в середине второго участка (x = L/2) = 0.

 Задача 4.4.2. Определить прогиб балки, изображенной на рис. 4.4.3. Жесткость балки на изгиб – EI.

 Решение. Определяем опорные реакции RA и RB:  тогда RA = RB = m/l.

 Балка состоит из одного участка. Составляем уравнение упругой оси балки (4.4.1):

а затем его интегрируем: 

   (4.4.9)

 Для определения постоянных интегрирования С и D поставим граничные условия: при х = 0 имеем у = 0 и при х = l также имеем у = 0, т.е. получаем у(х = 0) = D = 0, откуда D = 0, далее

,

откуда находим С = –ml/(3EI).

 Подставляя полученное значение С в формулы (4.4.9), окончательно запишем результаты:

 

 Задача 4.4.3. Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки после деформации. Балка представлена на рис. 4.4.4, жесткость балки на изгиб постоянна (EI = const).

 Ответ: y = –mx2/(2EI), = –mx/(EI).

 Задача 4.4.4. Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 4.4.5). Определить максимальный прогиб балки.

 Ответ: y = q(4x3l –x4 – 6l2x2)/(24EI); yB,max = –ql 4/(8EI).

 Задача 4.4.5. Определить максимальный прогиб консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m. Жесткость балки на изгиб равна EI. Определить также угол поворота оси балки в точке В (рис. 4.4.6).

  Ответ: yB,max = –3ml2/(2EI); = –ml/(EI).


Задача 4.4.6. Получить уравнение изгиба упругой оси однопролетной балки, показанной на рис. 4.4.7. Жесткость балки на изгиб EI считать постоянной по всей длине.

 Ответ:

 

 

 Задача 4.4.7. Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI. Балка и действующая на нее нагрузка изображены на рис. 4.4.8. Определить прогиб в точке А.

  Ответ: yI = qbx2(6a + 3b –2x)/(12EI),

 yII = q[a4 – 4a3x + 6(a + b)2x2 – 4(a + b)x3 + x4]/(24EI);

 yI,A = yII,A = qa2b(4a + 3b)/(12EI).

  Задача 4.4.8. Записать уравнения изгиба упругой оси однопролетной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб. Внешняя нагрузка на балку показана на рис. 4.1.17. Определить вертикальное смещение поперечного сечения в точке С.

 Ответ:  yC = 0;

 

 Задача 4.4.9. Определить максимальный прогиб однопролетной балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой F (рис. 4.2.3).

 Ответ: yB = –Fl3/(48EIz); Iz = bh3/12.

 Задача 4.4.10. Определить максимальный прогиб консольной балки круглого поперечного сечения диаметром d. Внешняя нагрузка показана на рис. 4.2.4.

 Ответ:   


Задача 4.4.11. Определить максимальный прогиб в однопролетной балке, показанной на рис. 4.4.9. Жесткость балки на изгиб – EIz.

 Ответ: y(x = l/2) = –13ql4/(384EIz).

 Задача 4.4.12. Записать уравнения изгиба упругой оси однопролетной балки, представленной на рис. 4.4.10. Балка имеет постоянную жесткость на изгиб EIz.

 Ответ:

  

 Задача 4.4.13. Записать уравнения изгиба упругой оси консольной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI. На балку действует сосредоточенная сила F. Определить угол поворота поперечного сечения на участке II (рис. 4.4.11).

  Ответ:  

 Задача 4.4.14. Получить уравнения изгиба упругой оси балки для каждого из ее трех участков. Балка – постоянной жесткости на изгиб EI (рис. 4.4.12).

  Ответ:

 

 

 Задача 4.4.15. Построить эпюру прогибов балки, показанной на рис. 4.1.3, а, приняв, что l = 0,5 м, а интенсивность равномерно распределенной нагрузки q = 10 кН/м. Поперечное сечение постоянно по длине балки Iz = 100 см4. Модуль упругости материала балки Е = (сталь).

 Ответ:

х, см 0 20 40 60 80 100 140  150 160 200

у, мм 0 –0,456 –0,759 –0,828 –0,664 –0,347 –0,081 0 –0,2 –2,25

 Задача 4.4.16. Определить максимальный прогиб консольной балки, представленной на рис. 4.1.19. Жесткость балки на изгиб – EI.

 Ответ: yB = –11ql4/(192EI);

 Задача 4.4.17. Определить максимальный прогиб консольной балки, показанной на рис. 4.1.20. Жесткость балки на изгиб – EI.

  Ответ: yB = –ql4/(30EI); 

 Задача 4.4.18. Определить максимальный прогиб однопролетной балки, загруженной распределенной треугольной нагрузкой (рис. 4.1.21). Вычислить угол поворота  оси х балки на опорах.

 Ответ: ymax = –ql4/(120EIz);  = 0 при x = l/2;

 

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Лабораторный практикум по сопромату