Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок Интернет магазин постельного текстиля.

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Эпюры главных напряжений при изгибе

 В каждой точке напряженного тела существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них – главными напряжениями. В порядке возрастания эти напряжения обозначаются через , , ().

 В случае плоского поперечного изгиба = 0, а главные напряжения вычисляются по формуле

  (4.3.1)

 Максимальное касательное напряжение возникает в площадках, наклоненных под углом 45о к главным площадкам. Максимальное касательное напряжение определяют по формуле

  (4.3.2)

 Угол  между главной площадкой и поперечным сечением перпендикулярным оси балки можно найти из выражения

  (4.3.3)

 Задача 4.3.1. Построить эпюры главных напряжений, и эпюру максимальных касательных напряжений в наиболее опасном с точки зрения главных напряжений поперечном сечении балки, изображенной на рис. 4.1.16. При расчете принять q = 10 кН/м, l = 6 м, материал балки – сталь с Ry = 240 МПа, = 1.

 Решение. Из эпюр изгибающего момента М и поперечных сил Q очевидно, что наиболее опасное поперечное сечение на опоре (в заделке), где Mz,max = 2ql2 = 720 кН·м, Qmax = 2ql = 120 кН. Подберем сечение в виде прокатного двутаврового профиля, для чего из формулы (4.2.7) находим

  Принимаем двутавр № 70Б1 (Wz = 3645 см3, Iz = 125930 см4) – двутавр стальной горячекатанный с параллельными гранями полок пo ГОСТ 26020-83. Поперечное сечение с соответствующими размерами показано на рис. 4.3.1. Кроме того, из таблицы выписываем площадь поперечного сечения А = 164,7 см2, статический момент половины поперечного сечения  = 2095 см3.

 Построим эпюру нормальных напряжений , для чего определяем

  Полученные данные занесем в табл. 4.3.1.

 Определяем статические моменты (относительно оси z) части площади, расположенной выше продольного сечения, проходящего через соответствующие точки. Например,   части площади, расположенной выше продольного сечения, проходящего через точку 2, находим по формуле

 а затем определяем касательное напряжение  по формуле (4.2.6) при условии, что  распределены по ширине поперечного сечения равномерно:

  Далее находим , а затем и касательное напряжение

Таблица 4.3.1

точек

yi

см

МПа

см3

МПа

МПа

МПа

МПа

1

34,55

198

0

0

99

198

0

2

33

188,7

1361

0,5

94,37

188,72

–0,02

3

33

188,7

1361

10,8

95

189,35

–0,65

4

0

0

2095

16,6

16,6

16,6

–16,6

5

–33

–188,7

1361

10,8

95

0,65

–189,35

6

–33

–188,7

1361

0,5

94,37

0,02

–188,72

7

–34,55

–198

0

0

99

0

–198

 Статический момент можно вычислить по рис. 4.3.1 или взять из табл. III, б раздела IV «Приложения»: = 2095 см3, а затем найти  (см. табл. 4.3.1). Определив для каждой точки поперечного сечения  и , находим значения  по формуле (4.3.2) для соответствующей точки поперечного сечения, например,

 

 

 И наконец, приступаем к определению главных напряжений  и  по формуле (4.3.1):

 

и далее, используя данные табл. 4.3.1, вычисляем

  ;

и т.д. Полученные результаты заносим в табл. 4.3.1. На рис. 4.3.1 показаны эпюры главных напряжений , и эпюра .

 Задача 4.3.2. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном с точки зрения главных напряжений прямоугольном поперечном сечении балки, изображенной на рис. 4.2.3. При расчете принять l = 4 м, F = 40 кН, b = 5 см, h = 15 см. Материал балки – сталь с Ry = 240 МПа.

 Ответ:

 

 Задача 4.3.3. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном с точки зрения главных напряжений круглом поперечном сечении консольной балки, изображенной на рис. 4.2.4. При расчете принять l = 2 м, сосредоточенные силы F = 5 кН, диаметр балки d = 12 см. Материал балки – сталь с Ry = 240 МПа,  (рис. 4.3.2).


Ответ:

 

 

 Задача 4.3.4. Построить эпюры главных напряжений и максимальных касательных напряжений в наиболее опасном треугольном поперечном сечении (рис. 4.3.3) балки с М = 40 кН·м, Q = 40 кН. Принять без вывода, что

 Записать в аналитической форме выражение для , а затем вычислить,, в точках с y = 2h/3, y = h/6, y = 0, y = –h/3.


Задача 4.3.5. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном поперечном сечении (рис. 4.3.4) балки, изображенной на рис. 4.1.17. При расчете принять l = 2 м, F = 90 кН, Ry = 240 МПа,. Поперечное сечение представляет собой двутавр № 40Б1 стальной горячекатанный с параллельными гранями полок по ГОСТ 26020-83. Основные размеры показаны на рис. 4.3.4, кроме того, имеем Wz = 803,6 см3; Iz = 15750 см4;  = =456 см3. При расчете использовать методику, изложенную в задаче 4.3.1.

 Задача 4.3.6. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном поперечном сечении с точки зрения главных напряжений. В балке, изображенной на рис. 4.3.5, это – поперечное сечение с МC = 10 кН·м, QC = 30 кН. Однако поперечное сечение балки следует подбирать по Мmax = 12,5 кН·м. Материал балки – сталь с Ry = 240 МПа,  следовательно, Wz,min = 12500/240 = 52 см3. Принимаем балку из двутавра № 12 с Wz = 58,4 см3 по ГОСТ 8239-89 (таблица III, а, раздела IV «Приложения)». Далее при построении эпюр , ,  рекомендуется использовать методику, изложенную в задаче 4.3.1.

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Лабораторный практикум по сопромату