Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Эпюры главных напряжений при изгибе

 В каждой точке напряженного тела существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них – главными напряжениями. В порядке возрастания эти напряжения обозначаются через , , ().

 В случае плоского поперечного изгиба = 0, а главные напряжения вычисляются по формуле

  (4.3.1)

 Максимальное касательное напряжение возникает в площадках, наклоненных под углом 45о к главным площадкам. Максимальное касательное напряжение определяют по формуле

  (4.3.2)

 Угол  между главной площадкой и поперечным сечением перпендикулярным оси балки можно найти из выражения

  (4.3.3)

 Задача 4.3.1. Построить эпюры главных напряжений, и эпюру максимальных касательных напряжений в наиболее опасном с точки зрения главных напряжений поперечном сечении балки, изображенной на рис. 4.1.16. При расчете принять q = 10 кН/м, l = 6 м, материал балки – сталь с Ry = 240 МПа, = 1.

 Решение. Из эпюр изгибающего момента М и поперечных сил Q очевидно, что наиболее опасное поперечное сечение на опоре (в заделке), где Mz,max = 2ql2 = 720 кН·м, Qmax = 2ql = 120 кН. Подберем сечение в виде прокатного двутаврового профиля, для чего из формулы (4.2.7) находим

  Принимаем двутавр № 70Б1 (Wz = 3645 см3, Iz = 125930 см4) – двутавр стальной горячекатанный с параллельными гранями полок пo ГОСТ 26020-83. Поперечное сечение с соответствующими размерами показано на рис. 4.3.1. Кроме того, из таблицы выписываем площадь поперечного сечения А = 164,7 см2, статический момент половины поперечного сечения  = 2095 см3.

 Построим эпюру нормальных напряжений , для чего определяем

  Полученные данные занесем в табл. 4.3.1.

 Определяем статические моменты (относительно оси z) части площади, расположенной выше продольного сечения, проходящего через соответствующие точки. Например,   части площади, расположенной выше продольного сечения, проходящего через точку 2, находим по формуле

 а затем определяем касательное напряжение  по формуле (4.2.6) при условии, что  распределены по ширине поперечного сечения равномерно:

  Далее находим , а затем и касательное напряжение

Таблица 4.3.1

точек

yi

см

МПа

см3

МПа

МПа

МПа

МПа

1

34,55

198

0

0

99

198

0

2

33

188,7

1361

0,5

94,37

188,72

–0,02

3

33

188,7

1361

10,8

95

189,35

–0,65

4

0

0

2095

16,6

16,6

16,6

–16,6

5

–33

–188,7

1361

10,8

95

0,65

–189,35

6

–33

–188,7

1361

0,5

94,37

0,02

–188,72

7

–34,55

–198

0

0

99

0

–198

 Статический момент можно вычислить по рис. 4.3.1 или взять из табл. III, б раздела IV «Приложения»: = 2095 см3, а затем найти  (см. табл. 4.3.1). Определив для каждой точки поперечного сечения  и , находим значения  по формуле (4.3.2) для соответствующей точки поперечного сечения, например,

 

 

 И наконец, приступаем к определению главных напряжений  и  по формуле (4.3.1):

 

и далее, используя данные табл. 4.3.1, вычисляем

  ;

и т.д. Полученные результаты заносим в табл. 4.3.1. На рис. 4.3.1 показаны эпюры главных напряжений , и эпюра .

 Задача 4.3.2. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном с точки зрения главных напряжений прямоугольном поперечном сечении балки, изображенной на рис. 4.2.3. При расчете принять l = 4 м, F = 40 кН, b = 5 см, h = 15 см. Материал балки – сталь с Ry = 240 МПа.

 Ответ:

 

 Задача 4.3.3. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном с точки зрения главных напряжений круглом поперечном сечении консольной балки, изображенной на рис. 4.2.4. При расчете принять l = 2 м, сосредоточенные силы F = 5 кН, диаметр балки d = 12 см. Материал балки – сталь с Ry = 240 МПа,  (рис. 4.3.2).


Ответ:

 

 

 Задача 4.3.4. Построить эпюры главных напряжений и максимальных касательных напряжений в наиболее опасном треугольном поперечном сечении (рис. 4.3.3) балки с М = 40 кН·м, Q = 40 кН. Принять без вывода, что

 Записать в аналитической форме выражение для , а затем вычислить,, в точках с y = 2h/3, y = h/6, y = 0, y = –h/3.


Задача 4.3.5. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном поперечном сечении (рис. 4.3.4) балки, изображенной на рис. 4.1.17. При расчете принять l = 2 м, F = 90 кН, Ry = 240 МПа,. Поперечное сечение представляет собой двутавр № 40Б1 стальной горячекатанный с параллельными гранями полок по ГОСТ 26020-83. Основные размеры показаны на рис. 4.3.4, кроме того, имеем Wz = 803,6 см3; Iz = 15750 см4;  = =456 см3. При расчете использовать методику, изложенную в задаче 4.3.1.

 Задача 4.3.6. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений   в наиболее опасном поперечном сечении с точки зрения главных напряжений. В балке, изображенной на рис. 4.3.5, это – поперечное сечение с МC = 10 кН·м, QC = 30 кН. Однако поперечное сечение балки следует подбирать по Мmax = 12,5 кН·м. Материал балки – сталь с Ry = 240 МПа,  следовательно, Wz,min = 12500/240 = 52 см3. Принимаем балку из двутавра № 12 с Wz = 58,4 см3 по ГОСТ 8239-89 (таблица III, а, раздела IV «Приложения)». Далее при построении эпюр , ,  рекомендуется использовать методику, изложенную в задаче 4.3.1.

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Лабораторный практикум по сопромату