Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Расчеты на прочность и жесткость валов круглого и кольцевого сечений

При расчете валов требуют, чтобы они удовлетворяли условиям прочности и жесткости. Условие прочности требует, чтобы максимальное касательное напряжение, вычисленное по формуле (3.2.4), было меньше или в предельном случае равно расчетному сопротивлению на срез Rs для материала вала, т.е.

  (3.2.9)

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания θmax, вычисленный по формуле (3.2.5), был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

  . (3.2.10)

Из формулы (3.2.9) можно найти необходимый для обеспечения прочности полярный момент сопротивления сечения, а по нему и диаметр вала:

 но Wρ = 0,2d 3, поэтому

  (3.2.11)

Из формулы (3.2.10) можно найти необходимый полярный момент инерции сечения, а по нему и диаметр вала

В этой формуле допускаемый относительный угол закручивания θadm должен быть выражен в радианах; если этот угол дан в градусах, то соотношение для определения Ip будет выглядеть следующим образом:

но Ip = 0,1d 4 , поэтому

  (3.2.12)

Из двух диаметров, рассчитанных по формулам (3.2.11) и (3.2.12), в качестве окончательного диаметра выбирается больший, который обычно округляется до целых миллиметров.

В случае расчета размеров вала кольцевого поперечного сечения при заданном соотношении внутреннего dвн и наружного диаметров d, т.е. при заданном параметре k = dвн /d, формулы (3.2.11) и (3.2.12) принимают вид:

  (3.2.13)

  (3.2.14)

Задача 3.2.15. Для вала, показанного на рис.3.2.3, сплошного круглого поперечного сечения найти необходимые диаметры по участкам. Материал вала – сталь, модуль сдвига G = 8·104 МПа, расчетное сопротивление на срез Rs = 30 МПа, допускаемый угол закручивания .

Решение. Прежде всего строится эпюра крутящих моментов. Значения крутящих моментов по участкам следующие:

Т1 = –М1 = –0,3 кН·м; Т2 = –М1 – М2 = –0,9 кН·м;

Т3 = –М1 – М2 + М0 = 1,5 кН·м.

Далее производится расчет диаметров по участкам вала из условия прочности, т.е. с использованием формулы (3.2.11):

 

Затем рассчитываются диаметры по участкам вала из условия жесткости, т.е. с использованием формулы (3.2.12):

В качестве окончательных следует выбрать значения диаметров, рассчитанные из условия жесткости. Таким образом, окончательные размеры диаметров вала таковы: d1 = 52 мм, d2 = 69 мм, d3 = 78 мм.

Задача 3.2.16. Для вала, представленного в предыдущей задаче (рис. 3.2.3), рассчитать по участкам диаметры кольцевого сечения при отношении диаметров k = dвн/d = 0,8.

Решение. Подставляя в формулы (3.2.13) и (3.2.14) известные значения Ti, Rs, G,и k найдем

d1,пр = 4,44·10–2 м, d2,пр = 6,36·10–2 м, d3,пр = 7,56·10–2 м;

d1,жестк. = 5,94·10–2 м, d2,жестк. = 7,84·10–2 м, d3,жестк = 8,88·10–2 м.

Таким образом, за наружные размеры диаметров участков полого вала следует взять те, которые были рассчитаны из условия жесткости. Итак, d1 = 60 мм, d2 = 79 мм, d3 = 89 мм. Внутренние расчетные диаметры будут равны d1,вн = 0,8·60 = 48 мм, d2,вн = 63 мм, d3,вн = 71 мм.

П р и м е ч а н и е. Обычно внутренний канал полого вала делается постоянного диаметра, за который принимают наименьший из рассчитанных, т.е. в нашей задаче dвн = d1,вн = 48 мм, хотя при этом на некоторых участках соотношение диаметров k будет несколько отличаться от заданного.

Задача 3.2.17. Для вала, показанного на рис. 3.2.10, построить эпюру крутящих моментов, подобрать сплошное круглое и кольцевое сечения по участкам из условий прочности и жесткости. Сравнить массы полого и сплошного валов. Дано:  k = dвн/d = 0,7;

Rs = 22 МПа,= 0,5 град/м; G = 8·104 МПа,

число оборотов вала n = 195 об/мин.

 Ответ: диаметры сплошного вала d1 = =88мм, d2 = 94 мм, d3 = 76 мм; отношение массы полого вала к массе сплошного равно 0,7.

Задача 3.2.18. На вал, делающий n = 200 об/мин, передается через ведущий шкив на ведомый мощность U = 425 кВт. Рассчитать диаметр d сплошного круглого вала, если принять Rs = 100 МПа, = 0,25 град/м, модуль сдвига материала вала G = 8·104 МПа.

Ответ: d = 145 мм.

Задача 3.2.19. Полый стальной вал нагружен сосредоточенным крутящим моментом Т = 6 кН·м. Определить наружный и внутренний диаметры вала, если Rs = 70 МПа,   = 1 град/м, G = 8·104 МПа, k = dвн/d = 0,8.

Ответ: d = 90 мм; dвн = 72 мм.

Задача 3.2.20. Вал, жестко закрепленный одним концом, закручивается моментом М = 3 кН·м, приложенным ко второму его концу. Длина вала 2 м. Рассчитать, насколько легче будет полый вал (k = 2/3), чем равнопрочный и равножесткий вал сплошного круглого сечения.

Дано: Rs = 30 МПа,  = 0,2 град/м, G = 8·104 МПа.

Ответ: полый вал легче сплошного на 49 кг.

 Задача 3.2.21. Прямолинейный круглый стальной стержень ступенчато-переменного диаметра жестко защемлен одним концом и нагружен системой трех внешних крутящих моментов (рис. 3.2.11, а), причем

М1 = 2М; М2 = 1,5М; М3 = М, а М = 20 кН·м.

 Построить эпюры крутящих моментов Т, абсолютных  и относительных  углов закручивания стержня, эпюру наибольших касательных напряжений  в сечениях по всей длине стержня.

 Из условий прочности и жесткости подобрать диаметры сплошного стержня для каждого участка, приняв в расчетах модуль сдвига G = 0,8·105 МПа, расчетное сопротивление материала стержня (сталь) на срез Rs = 100 МПа, допускаемый от-носительный угол закручивания = 0,4 град/м. Полярные моменты инерции и длины участков показаны на рис. 3.2.11, а.

 Решение. Обозначим цифрами характерные сечения на стержне. Имеем для II и III участков

  (a)

где через d обозначен диаметр стержня в пределах этих участков. Для участка I получаем: 

откуда находим  (б)

 Кроме того, 

  (в)

 Определим внутренние крутящие моменты на каждом участке, начиная со свободного конца: 

TIII = –M3 = –M; TII = –M3 + M2 = –M + 1,5M = 0,5M;

TI = –M3 + M2 – M1 = –M + 1,5M – 2M = –1,5M.

  Строим эпюру крутящих моментов Т (рис. 3.2.11, б).

 Определяем наибольшие касательные напряжения на каждом участке, используя формулу (3.2.4):

 В последних формулах введено обозначение

  (г)

 Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине стержня (рис. 3.2.11, в).

 Определяем углы закручивания отдельных участков по формуле (3.2.5):

 

где введено новое обозначение

  (д)

 Вычисляем углы поворота характерных сечений стержня:

   

  По полученным результатам строим эпюру (рис. 3.2.11, г).

 Определяем относительные углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.2.6):

 

  Строим эпюру (рис. 3.2.11, д).

 По эпюре  (рис. 3.2.11, в) видно, что самое большое касательное напряжение будет на участке III, поэтому формулу (3.2.11) записываем применительно к этому участку

  По эпюре  очевидно, что самый большой относительный угол закручивания будет на участке III, поэтому применяем формулу (3.2.12) для участка III:

  Сравнивая результаты расчетов на прочность (d = 0,1 м) и на жесткость (d = 0,14 м) находим, что главенствующим в рассматриваемой задаче является расчет на жесткость, поскольку d = 0,14 м > 0,1 м. Окончательно принимаем d = 14 см.

 Определяем диаметры сечений остальных участков:

dII = dIII = d =14 см, dI =1,19d = 16,7 см.

 Определим значение угла закручивания  на правом торце стержня (рис. 3.2.11, а) в сечении 3. Из эпюры (рис. 3.2.11, г) выписываем с учетом формул (д) и (а):

Метод интегрирования по частям

Если функции дифференцируемы, то справедлива следующая формула:

.  (7.1)

Эта формула используется в тех случаях, когда выражение   можно представить в виде   так, что стоящий в правой части формулы (7.1) интеграл оказывается проще исходного.

Формула (7.1) может применяться неоднократно.

Пример 16.

=

=  

 


Лабораторный практикум по сопромату