Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Кручение

 Кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 3.2.1, а). Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами. При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Из теоретической механики известна зависимость между скручивающим моментом М, Н·м, мощностью (секундной работой) U, Н·м·с-1, и числом n оборотов в минуту для вала

 . (3.2.1)

Если мощность задана в киловаттах, то величина скручивающего момента определяется по формуле

 . (3.2.2)

3.2.1. Крутящие моменты и их эпюры

В поперечных сечениях скручиваемого вала возникают внутренние крутящие моменты Т. Они устанавливаются на основе метода сечений: внутренний крутящий момент равен алгебраической сумме односторонних внешних моментов. При построении эпюр крутящих моментов принимают следующее правило знаков: если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий в этом сечении момент оказывается направленным против хода часовой стрелки, то он считается положительным (рис. 3.2.1, б), а если по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Задача 3.2.1. На вал, делающий n = 100 об/мин, передается через ведущий шкив мощность U0 = 10 кВт. С двух ведомых шкивов снимаются мощности U1 = 6 кВт и U2 = 4 кВт (рис. 3.2.2.) Построить эпюру крутящих моментов Т для этого вала.

  Решение. Определяются величины внешних скручивающих моментов по формуле (3.2.2.):

 

Вал разбивается на два участка, границами которых являются сечения, где приложены внешние моменты. Применяя метод сечений на первом и втором участках, и пользуясь указанным выше правилом для расчета крутящего момента Т, получим

Т1 = М0 = 974 Н·м; Т2 = М0 – М1 = 974 – 584 = 390 Н·м.

 Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 3.2.2.

Задача 3.2.2. Для условий задачи 3.2.1. построить эпюру Т, поменяв местами моменты М0 и М1.

Ответ: Т1 = –584 Н·м; Т2 = 390 Н·м.

Задача 3.2.3. Для стального вала круглого поперечного сечения, нагруженного четырьмя внешними скручивающими моментами М1=0,3 кН·м, М2 = 0,6 кН·м, М3 = 1,5 кН·м, М0 = 2,4 кН·м (рис. 3.2.3.), построить эпюру крутящих моментов.

  Ответ: Т1 = –0,3 кН·м (на участке АВ); Т2 = –0,9 кН·м (на участке ВС);

 Т3 = 1,5 кН·м (на участке СD).

Задача 3.2.4. Построить эпюру крутящих моментов для вала, показанного на рис. 3.2.4.

Ответ: Т1 = 2000 Н·м (на участке АВ); Т2 = –1000 Н·м (на участке ВС);

 Т3 = –3600 Н·м (на участке CD);

 Т4 = 1400 Н·м (на участке DЕ).

Задача 3.2.5. Найти наиболее рациональное расположение четырех крутящих моментов на валу (рис. 3.2.5):

М1 = 2 кН·м, М2 = 3 кН·м;

М3 = 1 кН·м, М0 = 6 кН·м.

У к а з а н и я

1. Наиболее выгодным расположением моментов на валу является то, при котором максимальный момент Тmax будет наименьшим среди Тmax при других расположениях внешних моментов.

2. В задаче следует рассмотреть 3–4 варианта размещения моментов и выбрать из них оптимальный вариант.

3. Длины участков вала остаются неизменными.

 Ответ: Т1 = –3000 Н·м (на участке АВ); Т2 = 3000 Н·м (на участке ВС);

 Т3 = 1000 Н·м (на участке СD).

3.2.2 Расчет напряжений и деформаций валов

В поперечных сечениях вала при кручении действуют только касательные напряжения, которые вычисляются по формуле:

   (3.2.3)

где ρ – текущий радиус точек сечения; Iρ – полярный момент инерции сечения.

 Из формулы (3.2.3) следует, что при ρ = 0 имеем τ = 0, а при ρ = ρmax =R получим

  (3.2.4)

где Wρ = Iρ/ρmax = Iρ/R – полярный момент сопротивления сечения.

Деформация кручения характеризуется углом закручивания φ, который в общем случае определяется по формуле

а в частном случае при GIρ = const , T = const – по формуле

 . (3.2.5)

 В этих формулах l – расстояние между закручиваемыми сечениями вала. В расчетах часто используется так называемый относительный угол закручивания θ = φ/l. Из формулы (3.2.5) следует, что

  (3.2.6)

Поскольку кручение представляет собой по существу неравномерный сдвиг, то закон Гука и выражение для потенциальной энергии имеют вид аналогичных соотношений из п. 3.1.

Закон Гука при кручении имеет вид

  (3.2.7)

Удельная потенциальная энергия рассчитывается по формуле

 

а полная энергия находится из выражения

  В частном случае GIp = const, T = const выражение для потенциальной энергии имеет вид

  (3.2.8)

Задача 3.2.6. Стальной коленчатый вал ОВС (рис. 3.2.6) принимает на плечо ВС усилие F = 100 Н. Найти наибольшее касательное напряжение и угол закручивания плеча ОВ, имеющего диаметр d = 8 мм и длину l = =25мм. Модуль упругости G = 8·104 МПа, плечо а силы F равно 20 мм.

 Решение. Определим величину внешнего момента:

 Поскольку к элементу ОВ больше никаких внешних сил не приложено, то, очевидно, что внутренний крутящий момент равен T = M = 2 Н·м=200 Н·см.

  Для вычисления касательных напряжений и угла закручивания необходимо найти геометрические характеристики поперечного сечения элемента ОВ. Полярный момент сопротивления равен 

 Полярный момент инерции равен

  Наибольшее касательное напряжение определим по формуле (3.2.4)

Найдем угол закручивания сечения 2 – 2 относительно сечения 1 – 1. Как видно из рис. 3.2.6, на этот же угол повернется плечо ВС. Согласно формуле (3.2.5), получим

Задача 3.2.7. Найти, на какой угол повернется торец стального вала, изображенного на рис. 3.2.7, если сила F = 1000 Н, плечо а = 50 см, длина вала l = 80 см, а его диаметр d = 5 см.

Ответ: φ = 0,5 град.

Задача 3.2.8. Найти максимальные касательные напряжения при условиях задачи 3.2.7.

Ответ: τmax = 20 МПа.


Задача 3.2.9. Шестеренка В, насаженная на вал СК и имеющая диаметр D = 40 мм (рис. 3.2.8), принимает окружное усилие F = 200 Н. Найти напряжения в поперечном сечении вала СК, если его диаметр d = 8 мм.

Ответ: τ = 40 МПа.

Задача 3.2.10. Для вала, показанного на рис. 3.2.9, построить эпюру изменения по длине вала величины касательного напряжения в крайней точке поперечного сечения.

Ответ: эпюра τ имеет вид кубической параболы.

Задача 3.2.11. Вал круглого поперечного сечения диаметром 10 см и длиной 3 м закручен на угол 2о. Чему равно наибольшее касательное напряжение τmax, если модуль сдвига материала вала равен G = 8·104 МПа?

Ответ: τmax = 46,5 МПа.

  Задача 3.2.12. Два вала – круглого и кольцевого поперечного сечений, имеющие один и тот же вес, передают одинаковый крутящий момент. В каком из валов наибольшие касательные напряжения будут больше и во сколько раз, если отношение внутреннего и наружного диаметров полого вала равно 0,6?

Ответ:  .

Задача 3.2.13. Тонкостенная труба длиной 5 м со средним диаметром 15 см и толщиной стенки 0,25 см закручивается моментами, приложенными по торцам, до величины касательных напряжений τ = 56 МПа. Найти полный угол закручивания трубы, если G = 8·104 МПа.

Ответ: φ = 2,67о.

Задача 3.2.14. Для условий задачи 3.2.3 в предположении, что вал ступенчатый dI = 5,2 см; dII = 6,9 см; dIII = 7,8 см, модуль сдвига материала вала G = 8·104 МПа, построить эпюру углов закручивания, приняв за начало отсчета сечение, где приложен момент М0.

У к а з а н и я

Вначале следует построить эпюру крутящих моментов Тi.

Далее необходимо рассчитать углы закручивания по отдельным участкам вала. Углы закручивания отдельных сечений по отношению к начальному получаются алгебраическим сложением углов закручивания на участках. 

При вычислении углов φi на отдельных участках по формуле (3.2.5) значения Тi берутся с эпюры Тi с учетом знаков. Учитывается и знак отрезков li: для сечений, лежащих справа от условно неподвижного, принимается знак «+», слева – «–».

Ответ: φА = 0; φВ = 0,23о; φС = 0,52о; φD = 0,35о. 

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где   – монотонная, дифференцируемая функция; б)   – новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

.  (6.1)

Во втором случае:

.  (6.2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 12.

  (положим   тогда


Лабораторный практикум по сопромату