Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Алгоритм раскрытия статической неопределимости

Определение реакций в дополнительных связях называют раскрытием статической неопределимости. Выполняется оно по единому алгоритму, который состоит из следующих шагов.

Определение степени статической неопределимости.

Выбор основной системы (ОС).

Переход к эквивалентной системе (ЭС).

Составление системы канонических уравнений.

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений. Решение системы канонических уравнений.

Построение суммарных эпюр внутренних силовых факторов.

Проверка правильности раскрытия статической неопределимости.

Рассмотрим содержание этих шагов.

Определение степени статической неопределимости. Разность между общим числом внешних и внутренних связей, наложенных на систему (Со), и числом связей, необходимых для ее равновесия (Сн), называется степенью статической неопределимости (L)

L = Cо – Cн .*

(3.9)

Иными словами, L равна числу дополнительных связей, наложенных на систему.

 При определении Со плоской стержневой системы необходимо учитывать, что:

бесшарнирный контур, включенный в систему, дает три дополнительные связи;

шарнир, соединяющий два стержня (одиночный шарнир), снижает степень статической неопределимости на единицу (устраняет одну связь);

шарнир, в котором сходится n стержней, устраняет n-1 связей, т.е. заменяет собой n-1 одиночных шарниров.

Число связей, необходимых для равновесия системы (Сн), равно:

- 1 для линейной системы, т.е. системы, у которой все стержни и все нагрузки находятся на одной линии;

- 3 для плоской системы, т.е. системы, у которой все стержни и все нагрузки находятся в одной плоскости;

- 6 для пространственной системы, т.е. системы, у которой стержни и нагрузки произвольным образом расположены в пространстве.

В некоторых учебниках по дисциплине «Сопротивление материалов» для определения степени статической неопределимости плоской системы дается формула типа

L = 3К – Ш ,

(3.10)

где К – общее число замкнутых контуров; Ш – общее число шарниров в пересчете на одиночные.

Выбор основной системы. Основной называется статически определимая, геометрически и кинематически неизменяемая система, полученная из заданной статически неопределимой системы путем освобождения ее от дополнительных связей и заданной нагрузки.

 Внешние дополнительные связи, как правило, убирают, а для освобождения от внутренних вводят шарниры или производят разрезы. Для обеспечения кинематической неизменяемости необходимо, чтобы направления всех связей, оставленных в качестве необходимых, не пересекались в одной точке или не были параллельны.

 Следует иметь в виду, что для любой статически неопределимой системы можно выбрать несколько основных (как минимум две). Из всех возможных ОС для расчета рекомендуется выбирать наиболее рациональную. Рациональность ОС определяется трудоемкостью решения с ее использованием. Чем проще строить эпюры внутренних силовых факторов, чем на меньшем числе участков они располагаются, тем рациональней ОС. Использование свойств симметричных расчетных схем позволяет уменьшить число канонических уравнений, использовать в качестве ОС половину, а иногда и меньшую часть расчетной схемы.

Переход к эквивалентной системе. Эквивалентной называется система, полученная из основной путем нагружения ее заданной нагрузкой и неизвестными усилиями (реакциями) Хi взамен отброшенных дополнительных связей. В тех точках, где были запрещены линейные перемещения, прикладывают сосредоточенные силы, а там, где были запрещены угловые перемещения, – сосредоточенные моменты. Усилия Хi прикладывают по направлению отброшенных связей.

Запись системы канонических уравнений. Общая форма записи таких уравнений следующая:

.

(3.11)

Каждое уравнение представляет собой сумму перемещений по направлению i-й дополнительной связи от внешней нагрузки и реакций в дополнительных связях. Общее число уравнений равно числу определяемых реакций. Перемещения от реакций в дополнительных связях, из-за того, что значения этих реакций до решения уравнений (3.11) неизвестны, представляют в виде произведений di j Xj , где di j – перемещения по направлению реакции Xi от единичного усилия, направление и место приложения которого совпадают с направлением и местом приложения реакции Xj. Свободные члены уравнений  есть перемещение по направлению реакции Xi от действия заданной нагрузки.

 Система уравнений (3.11) записывается в соответствии со следующими правилами (канонами, поэтому и называется канонической). В каждом уравнении все члены его имеют одинаковый первый индекс и располагаются в порядке возрастания второго индекса у коэффициентов di j, последним записывается свободный член . Уравнения в системе располагаются в порядке возрастания первого индекса членов уравнений.

 Для системы, один раз статически неопределимой, записывается одно уравнение, которое имеет вид

.

 Для системы, два раза статически неопределимой, уравнения имеют вид

.

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений. Поскольку коэффициенты di j и свободные члены  есть перемещения по направлению неизвестных сил, то для их вычисления можно применять любые методы вычисления перемещений, однако чаще всего применяется метод Мора.

 При использовании этого метода на прямолинейных участках для вычисления интегралов Мора, как правило, применяют способ Верещагина. Для этого строят грузовые и единичные эпюры. Сначала основную систему нагружают только заданной нагрузкой. Для полученной таким образом расчетной схемы строят эпюры внутренних силовых факторов (грузовые эпюры). Эти эпюры обозначают Mx p , Np и т.д. Затем ОС нагружают только одним безразмерным единичным усилием , вид, направление и точка приложения которого соответствуют виду, направлению и точке приложения неизвестного усилия X1. Для этой расчетной схемы строят эпюры внутренних силовых факторов, которые обозначают Mx 1 , N1 и т.д. Затем аналогичным образом поочередно строят эпюры от действия единичных усилий, соответствующих остальным неизвестным силам (X2 , X3 и т.д.), которые обозначают Mx 2 , N2 , Mx 3 , N3 и т.д. Эпюры внутренних силовых факторов, возникающих от действия единичных силовых факторов, называют «единичными эпюрами». Все эпюры (грузовые и единичные) строят по обычным правилам (с определением и последующим учетом реакций в опорах, записью аналитических выражений и т.д.).

 Для вычисления коэффициентов канонических уравнений перемножают эпюры с индексами, совпадающими с индексами вычисляемого коэффициента. Так, вычисляя свободный член , перемножают грузовые эпюры (с индексами p) на единичные с индексами 2. Вычисляя коэффициент d21, перемножают единичные эпюры с индексами 2 на единичные эпюры с индексами 1. При использовании формул (3.1а)…(3.4а) или (3.5, 3.7) эпюры с индексами 2 считаются грузовыми, а эпюры с индексами 1 – единичными, или наоборот. При вычислении коэффициента d22 эпюры с индексом 2 перемножаются «сами на себя», каждая из этих эпюр считается одновременно как грузовая и как единичная и т.д.

Примечание. Полезно помнить, что коэффициенты при неизвестных, имеющие одинаковые индексы (главные коэффициенты), например d11, d22 и т.д., всегда положительны, а коэффициенты, имеющие одинаковый набор индексов, равны между собой, например d12=d21, d23=d32 и т.д.

 Если статически неопределимая система имеет криволинейные участки, то на них применять способ Верещагина для вычисления интегралов Мора нельзя. На таких участках интегралы Мора вычисляют прямым интегрированием (см. п. 3.2.1).

Решение системы канонических уравнений. После вычисления всех коэффициентов и свободных членов их, если это возможно, сокращают на общие множители и подставляют в исходную систему уравнений.

Затем решают систему уравнений. Для этого могут применяться любые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Для небольших систем уравнений наименее трудоемким является метод Гаусса. Систему из двух уравнений можно решить методом Крамера. Из решения системы канонических уравнений определяют реакции в дополнительных связях (неизвестные усилия Xi).

Примечание. Если из решения Xi получена со знаком минус, то это означает, что в действительности она направлена в сторону, противоположную ее направлению на эквивалентной системе.

 На этом заканчивается собственно раскрытие статической неопределимости. Дальнейший расчет на прочность и (или) жесткость ведут для статически определимой системы, нагруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями в дополнительных связях. Обычным образом определяют реакции в необходимых связях, строят эпюры, производят необходимые расчеты.

  Для выполнения таких расчетов необходимы эпюры внутренних силовых факторов для заданной системы от суммарного действия приложенной нагрузки и реакций в дополнительных связях, поэтому построение этих (суммарных) эпюр включают в алгоритм раскрытия статической неопределимости.

Построение суммарных эпюр. Суммарные эпюры можно построить двумя способами.

 1 способ (традиционный)

 Основную систему нагружают заданной нагрузкой и найденными реакциями в дополнительных связях (Xi). Если из решения Xi получена со знаком «минус», то ее изображают в направлении противоположном, изображенному на эквивалентной системе. Далее традиционным способом строят необходимые эпюры.

 2 способ (способ сложения эпюр)

 Ординаты суммарной эпюры в любом сечении могут быть получены по следующей схеме:

,*

(3.12)

где Mc , Mp , Mi – ординаты суммарной, грузовой и единичных эпюр соответственно; L – степень статической неопределимости.

  Ординаты эпюр Mp и Mi подставляют в формулу (3.12) с учетом знаков. Правило знаков выбирается студентом, например так, как показано на рис. 5. Xi подставляют с теми знаками, с которыми они получены из решения. Для построения суммарных эпюр достаточно вычислить ординаты Mc на границах участков и в экстремальных точках. Полученные ординаты Mc откладывают от базовой линии, руководствуясь принятым правилом знаков. Полученные точки соединяют линиями, которыми ограничена эпюра Mp.

* Формула введена автором

Проверка правильности раскрытия статической неопределимости. После того как построены суммарные эпюры, появляется возможность надежно проверить правильность выполненного решения. Как отмечалось, перемещения точек приложения связей по направлению этих связей в заданной статически неопределимой системе при беззазорном соединении равны нулю, при наличии зазора – величине зазора. Для проверки правильности решения определяют перемещение в точке приложения одной из связей по направлению этой связи (выполняют деформационную проверку). Если оно окажется равным нулю или величине зазора (при наличии зазора), то все действия по раскрытию статической неопределимости выполнены правильно. В противном случае в решении имеются ошибки, которые необходимо найти, устранить и вновь выполнить деформационную проверку.

 Для выполнения деформационной проверки суммарные эпюры перемножают на единичные, построенные от действия единичного силового фактора, приложенного к основной системе в точке, где отброшена дополнительная связь по направлению этой связи. Для построения единичных эпюр рекомендуется выбирать иную основную систему, чем та, с использованием которой выполнялось решение.

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример 18. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда   или .

Пусть х=-1, тогда   или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай 2. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 19. Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю   соответствует сумма двух дробей:


Лабораторный практикум по сопромату