Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

СДВИГ, КРУЧЕНИЕ

Сдвиг

 Сдвигом называют деформацию, представляющую собой искажение первоначально прямого угла малого элемента бруса (рис.3.1.1) под действием касательных напряжений τ. Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом или, применительно к древесине, скалыванием.

 Деформация сдвига оценивается взаимным смещением граней 1 – 1 и 2 – 2 малого элемента (рис. 3.1.2), называемым абсолютным сдвигом и более полно – относительным сдвигом 

 , (3.1.1)

являющимся безразмерной величиной.

  В предположении равномерного распределения касательных напряжений по сечению площадью А, они определяются по формуле

 , (3.1.2)

где Q – поперечная сила в данном сечении.

В пределах упругости касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу

  (3.1.3)

– это закон Гука при сдвиге; G – модуль сдвига, Н/м2, характеризующий жесткость материала при сдвиге.

Модуль сдвига G, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона ν материала связаны зависимостью

Удельная потенциальная энергия деформации сдвига равна

На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений.

3.1.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений

В зависимости от числа срезов одного болта или одной заклепки их называют односрезными, двухсрезными и т.д. (рис. 3.1.3, а, б).

Они должны удовлетворять, во-первых, условию прочности на срез

  (3.1.4)


где Q – поперечная сила, равная внешней силе F, действующей на соединение; Rbs – расчетное сопротивление на срез; А = πd2/4 – расчетная площадь сечения болта или заклепки; d – диаметр заклепки или наружный диаметр болта; ns – число срезов одного болта или заклепки; γb – коэффициент условий работы соединения, имеющий значения в интервале ; n – число болтов или заклепок.

Если величины F, Rbs, γb, ns известны, то задаваясь числом заклепок или болтов n, можно найти необходимый для обеспечения прочности на срез диаметр

 . (3.1.5)

А зная d, F, Rbs, γb, ns, можно определить потребное число заклепок или болтов

  (3.1.6)

 Во-вторых, заклепки или болты должны отвечать условию прочности на смятие. Под смятием понимают пластическую деформацию, возникаю-щую в соединениях на поверхностях контакта (рис. 3.1.4, а). Возникаю-щие при этом напряжения являются нормальными, закон распределения которых по поверхности контакта достаточно сложен (рис. 3.1.4, б).

Упрощая расчет, площадь, подвергающуюся смятию, принимают равной

где d – диаметр заклепки (болта); n – их число; Σt – наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении. Сминающей будет та же сила F, которая производит и срез. Таким образом, условие прочности на смятие имеет вид:

  (3.1.7)

где Rbp – расчетное сопротивление на смятие.

Из условия (3.1.7) можно найти либо необходимый диаметр d по известным величинам F, t, n, Rbp,:

 , (3.1.8)

либо определить потребное число заклепок n

 . (3.1.9)

Из двух значений диаметров, рассчитанных по формулам (3.1.5) и (3.1.8), берут больший, округляя его до стандартного значения. Точно так же из двух значений n, рассчитанных по формулам (3.1.6) и (3.1.9), выбирают большее число, естественно, округленное до большего целого.

У к а з а н и я

 1. В заклепочных и болтовых соединениях при действии поперечной силы Q , проходящей через центр тяжести соединения, распределение этой силы между заклепками или болтами принимают равномерным.

 2. При действии на соединение момента, вызывающего сдвиг соединяемых элементов, распределение усилий на болты или заклепки следует принимать пропорционально расстояниям от центра тяжести соединения до рассматриваемого болта или заклепки.

 3. Болты или заклепки, работающие одновременно на срез и растяжение, следует проверять отдельно на срез и на растяжение.

Задача 3.1.1. Рассчитать количество заклепок диаметром d = 4 мм, необходимое для соединения двух листов двумя накладками (рис. 3.1.5). Материалом для листов и заклепок служит дюралюминий, для которого Rbs = 110 МПа, Rbр = 310 МПа. Сила F = 35 кН, коэффициент условий работы соединения γb = 0,9; толщина листов и накладок t = 2 мм.

Решение. Используя формулы (3.1.6) и (3.1.9), рассчитываем потребное количество заклепок:

 из условия прочности на срез

  из условия прочности на смятие

Из полученных результатов видно, что в данном случае решающим явилось условие прочности на смятие. Таким образом, следует взять 16 заклепок.

Задача 3.1.2. Выполнить расчет прикрепления стержня к узловой фасонке (рис. 3.1.6) болтами диаметром d = 2 см. Стержень, поперечное сечение которого представляет собой два одинаковых равнобоких уголка, растягивается силой F = 300 кН.

 Материал фасонки и болтов – сталь, для которой расчетные сопротивления равны: на растяжение Rbt = 200 МПа, на срез Rbs = 160 МПа, на смятие Rbр = 400 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,75. Одновременно рассчитать и назначить толщину листа фасонки.

 Решение. Прежде всего необходимо установить номер равнобоких уголков, составляющих стержень, определив потребную площадь поперечного сечения Anec из условия прочности на растяжение

  Учитывая предстоящее ослабление стержня отверстиями для болтов, следует добавить к площади сечения Anec 15%. Полученной таким образом площади сечения А = 1,15ּ20 = 23 см2 отвечает по ГОСТ 8508–86 (см. Приложение) симметричное сечение из двух равнобоких уголков размерами 75758 мм.

 Производим расчет на срез. Пользуясь формулой (3.1.6), найдем необходимое число болтов

  Остановившись на этом числе болтов, определим толщину δ узловой фасонки, используя условие прочности на смятие (3.1.7),

  У к а з а н и я

 1. Привязка линии размещения болтов (заклепок) в один ряд находится из условия: m = b/2 + 5 мм.

 В нашем примере (рис. 3.1.6)

m = 75/2 + 5 = 42,5 мм.

 2. Минимальное расстояние между центрами соседних болтов принимают равным l = = 3d. В рассматриваемой задаче имеем l = 3ּ20 = 60 мм.

 3. Расстояние от крайних болтов до границы соединения l/ принимается равным 0,7l. В нашем примере l/ = 0,7l = 0,7ּ60 = 42 мм.

 4. При выполнении условия b12 см болты (заклепки) размещают в две линии в шахматном порядке (рис. 3.1.7).

Задача 3.1.3. Рассчитать количество заклепок для условий задачи 3.1.1 в предположении, что накладка в соединении имеется лишь с одной стороны.

Ответ: 32 заклепки.

Задача 3.1.4. Два стержня, соединенные накладкой с одной стороны с помощью заклепок, растягиваются силой F = 50 кН (рис. 3.1.8). Число заклепок на каждом стержне равно n = 3, диаметр одной заклепки d = 15 мм. Сечение стержней – равнобокие уголки 70708 мм, толщина накладки δ = 10мм.

 Проверить прочность соединения, если расчетные сопротивления материала равны: на срез Rbs = 100 МПа, на смятие Rbр = 300 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,9.

 Ответ: условия прочности на срез и на смятие выполняются.

 Задача 3.1.5. Пять стальных листов толщиной 10 мм загружены силой F = 500 кН по схеме, показанной на рис. 3.1.9.

 Определить потребное число заклепок диаметром d = 2 см, соединяющих листы, если расчетные сопротивления материала заклепок и листов равны: на срез Rbs = 110 МПа, на смятие Rbр = 310 МПа, коэффициент условий работы соединения γb =0,9.

Ответ: 6 заклепок.

Задача 3.1.6. Определить силу F, которую может воспринять заклепочное соединение, показанное на рис. 3.1.10. Диаметр заклепки d = 2см, толщина листов и накладки δ = 2,2см. Расчетные сопротивления материала листов и заклепок равны: на срез Rbs = = 200 МПа, на смятие Rbр = 500 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,8.

Ответ: F = 50 кН.

Задача 3.1.7. Определить диаметр стального болта, соединяющего три стальных листа (рис. 3.1.11). Растягивающая сила F = 40 кН, толщина среднего листа δ = 10 мм.

Расчетные сопротивления материала болта и листов равны:

 на срез Rbs = 150 МПа;

 на смятие Rbр = 400 МПа; коэффициент условий ра-боты соединения γb = 0,8.

Ответ: d = 1,5 см.

Задача 3.1.8. Рассчитать количество заклепок диаметром d = 4 мм, необходимое для соединения профилей толщиной 1мм с фасонкой толщиной t = 2 мм (рис. 3.1.12). Сила F = 35 кН, расчетные сопротивления материала заклепок, профилей и косынки (дюралюминий) равны: на срез Rbs = 105 МПа, на смятие Rbр = 300 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,95.

Ответ: 16 заклепок в два ряда по 8 заклепок на каждой полке.

3.1.2. Расчет сварных соединений

 Существует несколько типов сварных соединений. При соединении встык зазор между соединяемыми элементами заполняется наплавленным металлом. Типы сечений стыковых швов в зависимости от толщины соединяемых элементов показаны на рис. 3.1.13. В зависимости от направления действующего усилия F по отношению к шву их подразделяют на прямые и косые (рис. 3.1.14).

 Прочность сварных швов характеризуется их расчетным сопротивлением. В основе расчета прямых стыковых швов лежит условие прочности на растяжение или сжатие:

  (3.1.10)

где lw – расчетная длина сварного шва; t – наименьшая толщина соединяемых элементов; Rwy – расчетное сопротивление сварного соединения на растяжение или сжатие по пределу текучести (иногда берут Rwu – то же – по пределу прочности); γс – коэффициент условий работы ().

Необходимо иметь в виду, что вследствие дефектов сварного шва на его концах, окончательную длину назначают, прибавляя к рассчитанной по формуле (3.1.10) длине по 1 см на каждом конце.

В основе расчета косых стыковых швов лежат:

 – условие прочности на растяжение (сжатие) в направлении, перпендикулярном шву:

 ; (3.1.11)

 – условие прочности на срез в направлении вдоль шва:

 , (3.1.12)

где Rws – расчетное сопротивление сварного соединения на срез.

 Соединение внахлестку выполняется при помощи угловых швов, которые могут быть лобовыми (рис. 3.1.15, а) и фланговыми (рис. 3.1.15, б). При соединении внахлестку расчет угловых швов производится на срез (условный) по двум сечениям (рис. 3.1.16): по металлу шва (сечение 1) и по металлу границы сплавления (сечение 2). При рассмотрении сечения 1 условие прочности записывается в виде

  (3.1.13)

а для сечения 2 в виде

  (3.1.14)

 В этих формулах: lw – расчетная длина шва, принимаемая меньше его полной длины на 1 см; βf и βz – коэффициенты, зависящие от прочности материала свариваемых элементов, вида сварки и принимаемые от 0,7 до 1,15; γwf и γwz – коэффициенты условий работы шва, принимающие значения от 0,85 до 1,0 в зависимости от районов эксплуатации конструкции; Rwf и Rwz – расчетные сопротивления сварных соединений при срезе соответственно по металлу шва и металлу границы сплавления; γс – коэффициент условий работы шва и назначения конструкции (); kf – длина катета сварного шва.

Из двух длин lw, рассчитанных по формулам (3.1.13) и (3.1.14), выбирается наибольшая. Расчетная длина может быть разделена на несколько частей в зависимости от конструктивных особенностей соединения. В таких случаях с учетом непровара к длине каждой части добавляется по 1 см на каждый конец.

Задача 3.1.9. Определить длину флангового сварного шва, необходимую для соединения двумя накладками с двух сторон стальных листов, растягиваемых усилием F = = 500 кН (рис. 3.1.17). Расчетные сопротивления: на срез металла шва Rwf = 180 МПа, металла границы сплавления Rwz = 160 МПа.

Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = γwf =1; γwz = 1; γс = 0,9. Длина катета сварного шва kf = 0,8 см. Зазором  пренебречь.

Решение. Рассчитываем необходимую длину двух фланговых швов с каждой стороны одной накладки, используя формулы (3.1.13) и (3.1.14).

Из условия прочности на срез по металлу шва  (3.1.13) получим:

 Из условия прочности на срез на границе сплавления (3.1.14) находим:

Из двух расчетных длин выбираем большую lw = 28 см. Расчетная длина одного шва (с одной стороны накладки) будет lw1 = lw/2 = 14 см. Конструктивная длина одного шва составит lw1 + 2 = 14 + 2 = 16 см.

Задача 3.1.10. Определить длину углового флангового шва, необходимую для прикрепления каждого из двух равнобоких уголков 63×63×6 к фасонке (рис. 3.1.18). Стержень, образованный из этих двух уголков, находится под действием продольной растягивающей силы F = 240 кН. Расчетные сопротивления: на срез металла шва Rwf = 75 МПа, металла границы сплавления Rwz = 100 МПа. Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = 1; γwf = 1; γwz = 1; γс = 0,95. Длина катета сварного шва kf = 0,8 см .

У к а з а н и я. Сила F1 = F/2 приложена в центре тяжести каждого уголка ближе к обушку, поэтому с целью равномерности работы шва по всей длине со стороны обушка обычно наваривают шов длиной l1, составляющей 70% от расчетной длины. Остальные 30% наваривают со стороны пера в виде двух одинаковых кусков – шпонов длиной l2/2.

Ответ: l1 = 30 см, l2 = 16 см.

Задача 3.1.11. Определить величину растягивающего усилия, воспринимаемого прямым сварным швом встык. Толщина листа t =10 мм, ширина b = 10 см. Расчетное сопротивление металла шва Rwy = 170 МПа. Коэффициент условий работы γс = 0,9.

Ответ: F = 190 кН.

Задача 3.1.12. Два листа соединены внахлестку фланговыми швами (рис. 3.1.19) и растягиваются силой F = 252 кН. Рассчитать необходимую длину l шва, если расчетные сопротивления на срез равны: для металла шва Rwf = 80 МПа, металла границы сплавления Rwz = 100 МПа. Поперечные размеры листов в мм указаны на рис. 3.1.19. Длина катета сварного шва kf = 1 см. Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = 1; γwf = 1; γwz = 1; γс = 0,9.

Ответ: l = 23 см.

Задача 3.1.13. Растягивающее усилие F = 400 кН центрально приложено к неравнобокому уголку 150×200×16. Уголок приварен к листу, как показано на рис. 3.1.20.

Требуется определить длины сварных швов l1 и l2, если расчетные сопротивления на срез равны: для металла шва Rwf = 100 МПа, металла границы сплавления Rwz = 120 МПа; длина катета сварного шва kf = 1,6 см. Коэффициенты имеют значения: βf = 0,7; βz = 1,15; γwf = 1; γwz = 1; γс = 0,8.

Ответ: l1 = 23 см; l2 = 6 см.

 Задача 3.1.14. Определить наибольшую растягивающую силу F, которую можно приложить к листам 180×10 мм (рис. 3.1.21), сваренным внахлестку двумя лобовыми швами, если расчетное сопротивление материала листа на растяжение равно Ry = 155 МПа, расчетное сопротивление материала сварного шва на растяжение Rwy = 100 МПа. Коэффициент условий работы соединения γс = 0,9.


Ответ: Fmax = 201,5 кН.

Задача 3.1.15. Проверить прочность косого шва (рис. 3.1.22) по нормальным и касательным напряжениям, если F = 166 кН, Rwy = 100 МПа, Rws = 80 МПа, γс = 0,9. Размеры соединяемых стальных листов (в см) указаны на рис. 3.1.22.

Ответ: шов удовлетворяет условиям прочности.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где   – монотонная, дифференцируемая функция; б)   – новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

.  (6.1)

Во втором случае:

.  (6.2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 12.

  (положим   тогда


Лабораторный практикум по сопромату