Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок Тонировка по госту http://www.vipton.ru/.

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Осевые моменты инерции плоских составных сечений

 Для сложных составных поперечных сечений, не содержащих осей симметрии, предлагается следующий порядок расчета.

 Сначала вычерчивается поперечное сечение. Случайные оси х, у ставим так, чтобы все точки поперечного сечения находились в 1-м квадранте (рис. 2.3.1). Каждому прокатному профилю присваивается порядковый номер. Наносим местные оси координат хi, уi, проходящие через известные центры тяжести i–го профиля. Оси хi, уi параллельны случайным осям х, у соответственно.

  Наносим на рисунок известные размеры сечения, взятые из задания или из соответствующих таблиц сортамента прокатной стали (см. приложение в конце книги).

 Вводим обозначения: хi, уi – абсцисса и ордината центра тяжести соответственно i–го профиля относительно случайных осей х, у; Аi – площадь сечения i–го профиля, – площадь поперечного сечения всего составного сечения; – осевые и центробежные моменты инерции i–го профиля относительно местных осей хi, уi.

 Следуя предложенной методике, выпишем геометрические характеристики для поперечного сечения, изображенного на рис. 2.3.1:

х1 = 25 см; х2 = 43,42 см; х3 = 36,11 см; х4 = 5,32 см;

у1 = 24,8 см; у2 = 12 см; у3 = 4,89 см; у4 = 21,64 см;   


    

 С помощью формул (2.1.7) находим координаты центра тяжести всего поперечного сечения:

  Наносим оси хс, ус, которые проходят через центр тяжести С всего составного поперечного сечения и определяем расстояния между осями хс и хi, а также между осями ус и уi:

 а1 = у1 – ус = 24,8 – 17,5 = 7,3 см; b1 = х1 – хс = 25 – 27,4 = –2,4 см;

 а2 = у2 – ус = 12 – 17,5 = –5,5 см; b2 = х2 – хс = 43,42 – 27,4 = 16,02 см;

а3 = у3 – ус = 4,89 – 17,5 = –12,61 см; b3 = х3 – хс = 36,11 – 27,4 = 8,71 см;

 а4 = у4 – ус = 21,64 – 17,5 = 4,14 см; b4 = х4 – хс = 5,32 – 27,4 = –22,08 см.

 Используя формулы (2.2.5), получаем выражения для вычисления осевых моментов инерции относительно центральных осей хс и ус всего поперечного сечения:

или окончательно:

 

 

  По формуле (2.2.6) находим значение центробежного момента инерции относительно осей хс, ус:

где, согласно рис. 2.3.1, имеем  так как швеллер и полоса имеют оси симметрии х2 и х1, у1 соответственно.

 Для вычисления для равнополочного уголка предварительно выпишем из таблицы сортамента «Уголки стальные горячекатаные равнополочные» = 2093 см4,= 540 см4,, (рис. 2.3.2, а). Тогда формула (2.2.8) принимает вид:

  Для вычисления для неравнополочного уголка (рис. 2.3.2, б) предварительно выпишем из таблицы сортамента (Раздел IV)

= 238,75 см4, = 784,22 см4, Iuv = 0, Iu = 142 см4, tgα = 0,388

и затем, согласно формуле (2.2.10), получаем:

  Таким образом, формула (2.2.8) для рассматриваемого случая принимает вид:


где tg= 0,388; = –21о12/ (рис. 2.3.2, б), тогда

 Значение центробежного момента  можно вычислить, используя фор-мулу (2.2.6). Для этого рас-смотрим рис. 2.3.2, в. Разобьем уголок на два прямоугольника с

  и

.

 В этом случае по формуле (2.2.6) получаем

  Как видно, результаты очень близки по значениям. Знак у центробежного момента относительно центральных осей уголка можно контролировать по рис. 2.2.7.

  Теперь можно приступить к определению центробежного момента всего составного сечения относительно осей хс, ус:

  Главные оси инерции можно построить, повернув центральные оси хс, ус на угол  (рис. 2.3.1):

  Величины главных моментов инерции определяем по формуле (2.2.11)

  Окончательно получаем, что Imax = 48582 см4, Imin = 13438 см4. Полученные значения удовлетворяют условию (2.2.10):

  Таким образом, определены все геометрические характеристики сложного составного поперечного сечения, показанного на рис.2.3.1.

 Задача 2.3.1. Вычислить главные моменты инерции для составного поперечного сечения, изображенного на рис.2.1.11.

  Ответ: Imax = 5828,4 см4; Imin = Iу = 2301,7 см4.

 Задача 2.3.2. Вычислить главные моменты инерции для составного поперечного сечения, представленного на рис. 2.1.12. Найти положение главных осей инерции.

 Ответ: хс = 11,7 см;  ус = 10,83 см; tg2α = 0,4642; α = 12о27/;

 Imax = 3795 см4; Imin = 1981 см4;

 


Задачи 2.3.3 – 2.3.11. Найти координаты центра тяжести и вычислить главные моменты инерции для составных поперечных сечений, показанных на рис. 2.3.3 – 2.3.11.

 Ответ к рис. 2.3.3: хс = 0; ус = 3,8 см;

 Ответ к рис. 2.3.4: хс = 0; ус = 7,05 см;

 Ответ к рис. 2.3.5: хс = 0; ус = –4,54 см;  

 

 Ответ к рис. 2.3.6: хс = 0; ус = 2 см;  


Ответ к рис. 2.3.7: хс = 0; ус = 3,3 см;

 Ответ к рис. 2.3.8: хс = 0; ус = 6,6 см;

 Ответ к рис.2.3.9: хс = 0; ус = 0; Ix = 7411 см4; Iy = 622,5 см4.

 Ответ к рис. 2.3.10:

 хс = 0; ус = –1,3 см;

 Imin = 524 см4;

 Iy = Imax = 1818 см4.

 Ответ к рис. 2.3.11:

  хс = ус = 0;

 Ix = 5290 см4;

 Iy = 537,6 см4.

 Задача 2.3.12. Вычислить главные моменты инерции поперечного сечения, показанного на рис. 2.1.13. Найти положение главных осей инерции.

 Ответ: хс = 7,74 см4; ус = 6,76 см4; tg2α = 0,5671; Imin = 418,6 см4;

 Imax = 2368,6 см4.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где   – монотонная, дифференцируемая функция; б)   – новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

.  (6.1)

Во втором случае:

.  (6.2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 12.

  (положим   тогда


Лабораторный практикум по сопромату