Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок http://www.cekod.ru/actvibora/ правомерно взимание платы за акт выбора.

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕКРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

 Геометрическими характеристиками плоских сечений являются площадь, статические моменты плоских сечений, положение центра тяжести, моменты инерции и моменты сопротивления.

2.1. Статические моменты сечений и определение центра тяжести плоских сечений

  Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения:

   (2.1.1)

 Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси (рис. 2.1.1):

 ; (2.1.2)

  (2.1.3)

  (2.1.4)

где yc – расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; xc – расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.

 Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:

  (2.1.5)

 В формулах (2.1.5) введены обозначения: А1, А2, …, Аn – площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x1, y1, x2, y2, x3, y3, … , xn, yn – координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у.

 Из выражений (2.1.4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:

  (2.1.6)

 Для сложного поперечного сечения формулы (2.1.6) можно представить в следующем виде

  (2.1.7)

 Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х1, а также у и у1 имеют вид:

  (2.1.8)

где параметры a, b показаны на рис. 2.1.2.

  У к а з а н и я.

 1. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента Sx. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента Sy. 

 2. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения.

 3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п.2, статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю.

  4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии.

 Задача 2.1.1. Определить центр тяжести треугольного поперечного сечения, показанного на рис. 2.1.3.

 Решение. Поперечное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, а следовательно, ось у – ось симметрии и центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения лежит на этой оси. 

 Для нахождения центра тяжести используем вторую из формул (2.1.6). Запишем

  (а)

 Из подобия треугольников  и  находим

  или  откуда 

 Найденное значение by подставляем в формулу (а) для вычисления статического момента Sx:

  В этом случае вторая из формул (2.1.6) дает

 На рис. 2.1.3 проводим линию у = ус = h/3. Центр тяжести треугольного поперечного сечения будет лежать на пересечении проведенной линии и оси у. Координаты центра тяжести этого сечения: х = 0, у = h/3.

 Задача 2.1.2. Определить статические моменты плоского прямоугольного сечения относительно осей х и у (см. рис. 2.1.4).

 Ответ: Sx = bh2/2;

 Sy = hb2/2.

 Задача 2.1.3. Определить координаты центра тяжести плоского сечения в форме половины круга радиусом R (рис. 2.1.5).


Ответ: xc = 0, yc = 4R/(3).

 Задача 2.1.4. Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью х, квадратной параболой x = hy2/b2 и прямой линией х = h (рис. 2.1.6).

 Решение. Для нахождения центра тяжести воспользуемся формулами (2.1.6). В первую очередь по формуле (2.1.1) определяем площадь поперечного сечения

 Затем по формулам (2.1.2) находим статические моменты сечения:

  И, окончательно, по формулам (2.1.6) определяем

  Задача 2.1.5. Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью х, кубической параболой x = hy3/b3 и прямой линией x = h (рис. 2.1.7).

  Ответ: x1c = 4h/7; y1c = 0,4b.

 Задача 2.1.6. Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью у, кубической параболой x = hy3/b3 и прямой линией у = в (рис. 2.1.7).

 Ответ: x2c = 2h/7; y2c = 0,8b.

 Задача 2.1.7. Проверить правильность ответов в примерах (2.1.5) и (2.1.6) при помощи формул (2.1.5), рассматривая плоское прямоугольное сечение как составное, состоящее из площадей A1 = 3bh/4 и A2 = bh/4 (рис. 2.1.7).

 Задача 2.1.8. Определить центр тяжести поперечного сечения, изображенного на рис. 2.1.8.

 Ответ: хс = 10,57 см;  ус = 9,43 см.

(Центр тяжести С поперечного сечения должен лежать на оси симметрии поперечного сечения).

 Задача 2.1.9. Определить центр тяжести поперечного сечения, показанного на рис. 2.1.9.

 У к а з а н и я. Для определения положения центра тяжести сложного сечения рекомендуется следующий порядок действий:

  1. Сложное сечение разбивается на части, имеющие вид простых фигур.

 2. Определяются площади и положения центров тяжести каждой простой фигуры.

 3. Выбираются случайные (произвольные) координатные оси х и у. Случайные оси желательно выбирать так, чтобы все точки плоского поперечного сечения имели положительные координаты.

 4. По формулам (2.1.5), которые можно записать как

  (2.1.9)

вычисляются статические моменты Sx и Sy всего плоского сечения как суммы статических моментов Sxi, Syi каждой фигуры относительно осей x, y.

 5. По формулам (2.1.6) вычисляются координаты центра тяжести всего сечения.

 Ответ: хс = 5а/6; ус = 5а/6 (Центр тяжести С должен лежать на оси симметрии поперечного сечения).

 Задача 2.1.10. Определить статические моменты Sx и Sy сложного поперечного сечения (рис. 2.1.10). Найти координаты его центра тяжести.

 Решение. Следуя предложенному в примере 2.1.9 порядку расчета, разбиваем сложное поперечное сечение на две простые фигуры: прямоугольное сечение с размерами  и площадью A1 = =h2/2, координаты центра тяжести (C1) которого y1c = h/2, x1c = h/4 и прямоугольное сечение  с центром тяжести С2 (y2c = h/2, x2c = 5h/16) и площадью A2 = 9h2/32.

 По формулам (2.1.9) вычисляем статические моменты всего сечения:

  Площадь поперечного сечения всей конструкции А находим как разность площадей А1 и А2: А = А1 – А2 = 7h2/32. Подставляя полученные значения в формулы (2.1.6), находим координаты центра тяжести С всего сечения:

yc = Sx/A = h/2; xc = Sy/A = 19h/112.

 Задача 2.1.11. Определить статические моменты Sx, Sy сложного поперечного сечения (рис. 2.1.10) и найти координаты его центра тяжести.

  У к а з а н и е. Рассматриваемое сложное сечение разбить на три прямоугольника.

  Ответ: Sx = 7h3/64, Sy = 19h3/512; xc = 19h/112; yc = h/2.

 Задача 2.1.12. Определить положение центра тяжести составного сечения, показанного на рис. 2.1.11.


Ответ: xc = 0; yc = 10,83 см.

  Задача 2.1.13. Вычислить статические моменты Sx, Sy сложного составного сечения (рис. 2.1.12). Определить площадь этого сечения и найти координаты его центра тяжести.

 Решение. Предлагается следующий порядок решения.

 Если поперечное сечение не содержит осей симметрии, то случайные оси х, у ставим так, чтобы все точки поперечного сечения находились в 1-м квадранте. Каждому прокатному профилю присваивается порядковый номер.

 Вводим обозначения: хi, уi – абсцисса и ордината центра тяжести соответственно i – го профиля относительно случайных осей х, у; Аi – площадь сечения i – го профиля, А – площадь поперечного сечения всего составного сечения, n – число профилей.

 Затем вычисляются статические моменты всего сечения по формулам (2.1.5), а по формулам (2.1.6) находятся координаты центра тяжести.

 Следуя предложенной методике, выпишем (рис. 2.1.12): А1 = 6,36 см2; А2 = 23,4 см2; А3 = 26,8 см2; А = 56,56 см2; х1 = 3,87 см; х2 = 7,07 см; х3 = =17,6 см; у1 = 17,4 см; у2 = 10 см; у3 = 10 см.

 По формулам (2.1.5) находим

  И наконец, с помощью формул (2.1.6) определяем координаты центра тяжести всего сечения:

 Для проверки полученных результатов рекомендуем самостоятельно определить координаты центра тяжести составного сечения относительно осей p, q (рис. 2.1.12).


Задача 2.1.14. Вычислить координаты центра тяжести составного сечения, состоящего из швеллера и уголка (рис. 2.1.13)

 Ответ: хс = 7,74 см; ус = 6,76 см.

 Задача 2.1.15. Вычислить координаты центра тяжести сложного составного сечения, изображенного на рис. 2.1.14.

 Ответ: хс = 0; ус = 9,23 см.

Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где   – монотонная, дифференцируемая функция; б)   – новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

.  (6.1)

Во втором случае:

.  (6.2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 12.

  (положим   тогда


Лабораторный практикум по сопромату