Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Определение перемещений методом Мора

 Метод Мора позволяет определять линейные и угловые перемещения любых сечений любой расчетной схемы по любому направлению от действия любых нагрузок.

 Коротко напомним порядок определения перемещений методом Мора.

 Для определения перемещений методом Мора необходимо:

1. Изобразить расчетную схему конструкции – грузовое состояние.

2. Изобразить вспомогательное состояние – расчетную схему, освобожденную от всех нагрузок. Приложить к вспомогательному состоянию в точке, где определяется перемещение, по направлению этого перемещения единичный силовой фактор – силу, равную безразмерной единице, если определяется линейное перемещение, или момент, равный безразмерной единице, если определяется угловое перемещение.

3. Грузовое и вспомогательное состояние разделить на одинаковое число участков. Границами участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или моменты, в том числе и единичные, начинаются или кончаются распределенные нагрузки, узлы рамы, а также точки на расчетной схеме, в которых изменяется поперечное сечение. Пронумеровать участки. Порядок нумерации и порядок обхода участков для грузового и вспомогательного состояния должны быть одинаковыми. Для произвольного сечения каждого участка записать аналитические выражения для определения внутренних силовых факторов, возникающих в грузовом и вспомогательном состояниях.

4. Полученные аналитические выражения подставить в формулу Мора и произвести необходимые вычисления, в результате этих вычислений получают искомое перемещение. Если искомое перемещение получено со знаком «плюс», то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного силового фактора. Знак «минус» при перемещении означает, что действительное направление перемещения противоположно направлению единичного силового фактора.

Общий вид формулы Мора

.

(3.1)

Для плоской системы формула (3.1) принимает вид

.

(3.2)

Примечание. В формулах (3.1) и (3.2) опущены слагаемые, учитывающие влияние Qx и Qy на величину искомого перемещения, так как в технических расчетах этим влиянием пренебрегают ввиду его малости.

  В балках и плоских рамах в большинстве случаев пренебрегают и влиянием N, тогда перемещения определяют по формуле

.

(3.3)

 В шарнирных фермах, состоящих из прямых стержней, в формуле Мора сохраняется лишь член, учитывающий только нормальную силу

.

(3.4)

В формулах (3.1)…(3.4):

 n – число участков интегрирования;

 i – номер участка;

 li – длина участка;

  Mx , My , Mk , N – аналитические выражения для определения внутренних силовых факторов в грузовом состоянии;

  – то же во вспомогательном состоянии;

 E, G – модуль упругости и модуль сдвига соответственно;

 Ix , Iy , Ik , F – геометрические характеристики поперечного сечения.

 Для прямолинейных участков с постоянной жесткостью интегралы Мора можно вычислять графоаналитическим способом – способом Верещагина. Способ Верещагина иногда называют способом «перемножения» эпюр. Чтобы им воспользоваться, необходимо построить эпюры для грузового и вспомогательного состояний.

 Формулы (3.1)…(3.4) в этом случае принимают вид

(3.1а)

.

(3.2а)

.

(3.3а)

.

(3.4а)

 

В формулах (3.1а)…(3.4а):

  , , , WN – площади грузовых эпюр на i-м участке;

  – ординаты единичных эпюр (эпюр для вспомогательного состояния) i-го участка, взятые в тех сечениях, где расположены центры тяжести площадей грузовых эпюр.

 Если площадь грузовой эпюры и ордината под ее центром тяжести, взятая с единичной эпюры, расположены по разные стороны от базовой линии, то их произведение берется со знаком «минус». Формулы для вычисления площадей (W) фигур, изображающих грузовые эпюры на участках, положение центров тяжести (С) этих фигур, а также соответствующие им ординаты () на единичных эпюрах для наиболее простых случаев даны в табл. 4.

В более сложных случаях перемножение эпюр на линейных участках (рис. 5) может быть выполнено по универсальной формуле

,*

(3.5)

где l – длина участка; a, b – ординаты грузовой эпюры на границах участка; c, d – ординаты единичной эпюры на границах участка;  f – высота параболического сегмента грузовой эпюры.

Ординаты a, b, c, d, f подставляются в формулу (3.5) с учетом знаков. Правило знаков для ординат устанавливает сам студент, например так, как показано на рис. 5. Знак f берется по отношению к линии АВ. Ордината f считается положительной, если она направлена от линии АВ в сторону знака «плюс», и отрицательной, если в сторону знака «минус».

 Грузовая эпюра


Правило знаков

  Единичная эпюра

 Рис. 5

 Значение  f для эпюр изгибающих моментов при наличии на участке равномерно распределенной нагрузки может быть определено так:

,

(3.6)

где q – интенсивность равномерно распределенной нагрузки; l – длина участка.

Примечание. Если по формуле (3.5) перемножаются две эпюры, ограниченные прямыми линиями, то f = 0 и формула (3.5) превращается в известную формулу трапеций.

 Известна и другая универсальная формула

,

(3.7)

где e, g – ординаты грузовой и единичных эпюр на середине участка.

(3.8)

 Ординаты e и g, так же как и ординаты a, b, c, d, f , в формулы (3.7) и (3.8)подставляют с учетом принятого правила знаков.

По формулам (3.5) и (3.7) могут перемножаться эпюры, изображаемые треугольниками, прямоугольниками, трапециями, в том числе и перекрученными, в любом сочетании. Одна из перемножаемых эпюр может быть ограничена квадратичной параболой.

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример 18. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда   или .

Пусть х=-1, тогда   или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай 2. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

Пример 19. Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю   соответствует сумма двух дробей:


Лабораторный практикум по сопромату