Физика Сборник задач по физике
Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Построение эпюр нормальных сил и напряжений для брусьев в статически определимых задачах

 Задача 1.1.1. Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис. 1.1.1. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.

 Решение. Для определения внутренних усилий разбиваем прямолинейный брус на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и точкам приложения сосредоточенных сил. Из рассмотрения рис. 1.1.1, а определяем, что брус необходимо разбить на четыре участка.

 Проводим сечение I – I. Отбросим верхнюю часть бруса, ее действие заменим нормальной силой N1 (рис. 1.1.1, б). Запишем уравнение равновесия, проектируя силы на ось бруса:

 откуда N1 = F.

 Очевидно, что на всем первом участке () нормальная сила N1 постоянна по величине. Откладываем в масштабе значение нормальной силы N1 = F в пределах участка I – I (рис. 1.1.1, е).

 Проводим сечение II – II и, отбрасывая верхнюю часть бруса, заменяем ее действие нормальной силой N2 (рис. 1.1.1, в). Проектируем все силы на ось бруса:

 

 
 откуда N2 = –F.

 


Рис. 1.1.1

 Аналогично находим нормальные силы в сечении III – III (рис. 1.1.1, г):

 откуда N3 = –F

и в сечении IV – IV (рис. 1.1.1, д):

  откуда N4 = 0.

 Откладывая в масштабе значения нормальных сил N2, N3, N4 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис.1.1.1,е). Полученную таким путем эпюру принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а знак «минус» – сжатие.

 Для построения эпюры нормальных напряжений  воспользуемся формулой (1.2) для каждого участка:

 Эпюра нормальных напряжений (рис. 1.1.1, ж) показывает, что наибольшего значения нормальные напряжения достигают в пределах третьего участка (участок III).

 Задача 1.1.2. Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис.1.1.2, а. Принять a = 0,4 м; площадь поперечного сечения бруса на участках III и IV А = 20 см2; сосредоточенная сила F = 0,5 кН, собственный вес = 0,0078 кг/см3 = 76,44 кН/м3.

 Решение. Для определения внутренних усилий разбиваем брус с прямолинейной осью на четыре участка. Проводим сечение I – I (рис. 1.1.2, а) и отбрасываем верхнюю часть бруса, заменяя действие отброшенной части нормальной силой N1 (рис. 1.1.2, б). Так как сечение I –I может быть проведено в любом месте участка I, то длина оставшейся части участка будет переменной величиной, и поэтому обозначим ее через x (рис. 1.1.2, б), причем . Запишем уравнение равновесия, проектируя силы, действующие на оставшуюся часть бруса, на направление оси бруса: 


 откуда

Подпись: жПодпись: еПодпись: дПодпись: гПодпись: вПодпись: бПодпись: аРис. 1.1.2

 Через  обозначен собственный вес оставшейся части бруса первого участка, в пределах которого площадь поперечного сечения равна 2А, а длина оставшейся части обозначена через x. Подставим численные значения в полученную формулу:

.

  Записанное выражение показывает, что эпюра нормальных сил в пределах первого участка представляет собой наклонную прямую линию. Для построения этой прямой определим значение нормальной силы N1 в начале первого участка (x = 0): N1(x = 0) = 500 Н и в конце первого участка (x = a= = 0,5 м): N1 (х = 0,5 м) =

  Полученные значения откладываем в масштабе в соответствующих точках эпюры нормальных сил (рис. 1.1.2, е). Найденные точки соединяем прямой линией, затем штрихуем первый участок эпюры прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса.

 Проводим сечение II – II и повторяем порядок расчета, описанный выше для сечения I – I. Переменная величина х участка II – II будет изменяться в пределах . Составим уравнение равновесия (рис. 1.1.2, в)

  откуда

где – собственный вес части бруса, расположенного ниже сечения II – II. Окончательно имеем

  Определяем значение нормальной силы N2 в начале второго участка (х= 0,5 м):  и в конце этого же участка (х = хmax = 1 м):

  Полученные значения N2 откладываем в масштабе в начале и в конце второго участка (рис. 1.1.2, е).

 Проводим сечение III – III и для оставшейся части бруса составляем уравнение равновесия (рис. 1.1.2, г)

откуда  где  – собственный вес оставшейся части бруса третьего участка; – собственный вес первого и второго участков.

 Тогда для участка

где нормальная сила N3 в начале третьего участка будет N3(х=0) = –194,2 Н; а в конце третьего участка получаем N3 (х = a = 0,5 м) = –117,8 Н. Найденные значения N3 переносим на эпюру нормальных сил.

 И наконец, рассматривая равновесие оставшейся части бруса, после проведения сечения IV – IV получаем (рис. 1.1.2, д)

откуда  где = 305,76 Н – собственный вес участков I – I и II – II, 152,88х – собственный вес третьего и оставшейся части четвертого участков.

 В этом случае имеем

т.е. в начале четвертого участка N4 (х = 0,5 м) = 382,2 Н, а в конце этого же участка N4 (х = 1 м) = 458,64 Н. Вычисленные значения N4 откладываем в масштабе на эпюре нормальных сил (рис. 1.1.2, е).

 Эпюра нормальных сил показывает, что первый и четвертый участок подвержены растяжению, а второй и третий – сжатию.

  Для вычисления значений нормальных напряжений  и построения эпюры нормальных напряжений используем формулу (1.2):

 Эпюра нормальных напряжений показывает, что самое большое нормальное напряжение возникает в сечении, проходящем через точку Л четвертого участка (рис. 1.1.2, ж), т.е. на опоре.

 Задача 1.1.3. Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, для

которого a1 = 25 см, a2 = 15 см, a3 = 10 см, a4 = 20 см, А1 = А = 20 см2, А2 = =А3 = 4А. А4 = 2А (рис. 1.1.3, а). Стержень находится под действием сосредоточенных сил F1 = 327,2 Н; F2 = 1 кН; F3 = 500 Н и собственного веса с = 78,5 кН/м3, действующих вдоль оси стержня.

 Требуется построить для заданного стержня эпюры нормальных сил и нормальных напряжений.

 Ответ: правильный результат показан на рис. 1.1.3, б,в.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить   Предположим, что существуют дифференцируемые функции   и , такие, что тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например. .

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:


Лабораторный практикум по сопромату