Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ

 В этой главе, в основном, будет рассматриваться брус. Брус – это тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса – это линия, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений.

 Под действием приложенных сил тело деформируется. Изменение линейных размеров тела называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров – угловой деформацией. Удлинение – это увеличение линейных размеров тела, а укорочение – уменьшение линейных размеров тела.

  Пусть прямой брус длиной l заделан одним концом, а на другом конце приложена внешняя сосредоточенная сила F. Под действием этой силы брус удлинится на величину , которая называется полным (абсолютным) удлинением, тогда

   (1.1)

где – относительная продольная деформация.

 Перемещение точки – расстояние между первоначальным положением точки (до приложения внешних нагрузок) и ее положением после деформации, взятое в определенном направлении, например, вдоль оси стержня.

 Центральное растяжение (сжатие) – это такой случай напряженного состояния, когда в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N.

 На основании гипотезы плоских сечений все продольные волокна стержня испытывают одинаковые удлинения или укорочения. Следовательно, при растяжении и сжатии нормальные напряжения  распределены равномерно по поперечному сечению стержня, поэтому

  (1.2)

где А –площадь поперечного сечения стержня.

 Зависимость между нормальным напряжением  и относительной деформацией   в пределах упругости при растяжении и сжатии имеет вид (закон Гука):

  (1.3)

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга).

 Пользуясь законом Гука (1.3), можно вычислить абсолютное удлинение  стержня при действии нормальной силы N (рис. 1.1, а):

  (1.4)

при учете только действия собственного веса стержня (рис. 1.1, б):

  (1.5)

где – объемный вес материала стержня.


Рис. 1.1

 Если по длине стержня l нормальная сила N(x) и площадь сечения A(x) переменны и изменяются по какому-либо непрерывному закону, то удлинение  определяется по формуле

  (1.6)

 Для стержня со ступенчатым изменением площади Ai (рис. 1.1, в) и нормальной силы Ni удлинения  вычисляются на каждом участке с постоянными Ni и Ai, а результаты алгебраически суммируются:

  (1.7)

где n – число участков; i – номер участка (i = 1; 2; 3; …; n).

 Существует экспериментально установленная зависимость:

 

где  – относительная поперечная деформация, – коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации). Коэффициент Пуассона  вместе с модулем продольной упругости Е характеризует упругие свойства материалов.

 Расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

  (1.8)

где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.1.1) или другим нормам.

 Таблица 1.1

Элементы конструкции

 Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен

 Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий:

  а) сжатых при расчетах на устойчивость

 б) растянутых в сварных конструкциях

  Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность

 Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность

  Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой 

0,95

0,95

0,95

1,1

1,1

0,75

 Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

 принимать .

 Для хрупких материалов условия прочности принимают вид:

 при растяжении: , ;

 при сжатии: ,  (1.9)

где  и  – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; nt и nc – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (nt, nc>1).

 Для центрально сжатых бетонных элементов формула (1.9) записывается в виде:

  (1.10)

где  – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

 У к а з а н и я

 1. В том случае, когда направление нормальной силы заранее неизвестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия нормальная сила получится со знаком «плюс», то брус испытывает растяжение, со знаком «минус» – сжатие.

 2. Если в рассматриваемом сечении приложена сосредоточенная сила F, направленная вдоль оси стержня, то значение нормальной силы на эпюре нормальных сил N в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенной силы.

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить   Предположим, что существуют дифференцируемые функции   и , такие, что тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например. .

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:


Лабораторный практикум по сопромату