Контрольная работа по сопромату Методика решения задач Дополнительные задачи на сдвиг Сложное сопротивление Действие динамических нагрузок

Контрольная работа по сопромату Методика решения задач

Методические указания к решению задачи К4.4

 Для стержней, работающих на сжатие, возможна потеря несущей способности вследствие их изгиба, т.е. потери устойчивости. Потеря устойчивости очень опасное явление, которое, если оно происходит, приводит к тяжелым последствиям. Поэтому расчёты стержней на устойчивость являются чрезвычайно важными. Стержень теряет устойчивость в том случае, если сжимающая сила превышает некоторое критическое значение.

  Впервые формулу для определения критической силы Ркр получил российский учёный Л. Эйлер в середине XVIII века

.

(4.4)

Здесь Е – модуль упругости материала стержня;  Jmin – меньший из главных центральных моментов инерции; l – длина стержня; m – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от условий закрепления стержня, его численное значение берут из справочников.


На рис. 27 приведены значения m для расчетных  схем к задаче 4.4.

 m = 1 m = 2 m = 0,7 m = 0,5

Рис. 27

 Склонность стержня к потере устойчивости характеризуется его гибкостью l, которая определяется по формуле

.

(4.5)

где  – минимальный радиус инерции сечения бруса, ;  F – площадь поперечного сечения.

В связи с тем, что в формулу Эйлера входит Е – модуль упругости (коэффициент пропорциональности между напряжением и деформацией), то использовать её можно только для стержней, которые теряют устойчивость при напряжениях, не превышающих sпц – предела пропорциональности материала, или у которых гибкость l больше или равна предельной гибкости lпред. По физическому смыслу lпред есть гибкость стержня, который теряет устойчивость при напряжениях, равных sпц, и является характеристикой материала. Значения lпред для различных материалов приводятся в справочниках. В инженерных расчетах для всех сталей можно брать lпред = 100.

Однако в некоторых инженерных конструкциях применяются такие стержни, которые могут потерять устойчивость при напряжениях превышающих sпц. В этом случае предельное напряжение определяется по формуле, которую предложил российский инженер и ученый Ф.С. Ясинский

.

(4.6)

С учетом формулы (4.6)

.

(4.7)

Здесь а, b – эмпирические коэффициенты, имеющие размерность напряжений, численное значение которых для различных материалов приведено  в справочниках. Для стали Ст. 3 а = 310 МПа, b = =1,14 МПа.

При некоторых значениях l sкр = sТ (т.е. пределу текучести). Это значение l обозначается как l0 и называется начальной гибкостью, l0 может быть определена исходя из формулы (4.6).

.

Так, для стали Ст. 3 sТ = 240 МПа, тогда получим

.

При l < l0 расчет на устойчивость не производится. Стержни с такой гибкостью называются стержнями малой гибкости и расcчитываются на сжатие. Однако для единообразия расчета и в этом случае можно считать

.

(4.8)

Здесь Рпред – предельная сила из расчета на сжатие.

 Для обеспечения надежной работы сжатых стержней сила прикладываемая к стержню должна быть меньше, чем Ркр. С этой целью вводится коэффициент запаса по устойчивости ny (ny > 1).

 Тогда условие устойчивости можно выразить зависимостью

.

(4.9)

Здесь  – допускаемая сила по условию устойчивости.

 ,

(4.10)

где  – нормативный коэффициент запаса по устойчивости.

Алгоритм определения Ркр и [Р] у с использованием

формул Эйлера и Ясинского

 1. Вычислить гибкость стержня l по формуле (4.5).

 2. Выбрать формулу для определения Ркр. Если l ³ lпред, то используется формула Эйлера (4.4). Если lпред > l ³ l0, то используется формула Ясинского (4.7). Если l < l0, то Ркр можно определить по формуле (4.8).

 3. По выбранной формуле вычислить Ркр.

 4. Определить допускаемую силу  по формуле (4.10).

4.4.3. Расчет сжатых стержней на устойчивость

с использованием коэффициента уменьшения

основного допускаемого напряжения

 Расчет на устойчивость можно по форме привести к расчету на сжатие, исходя из следующего условия устойчивости

,

где  – допускаемое напряжение на устойчивость, которое определяется

.

Здесь  – основное допускаемое напряжение на сжатие; j – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения.

 Значения коэффициента j зависят от материала стержней, их гибкости и приведены в справочниках в виде таблиц или графиков. В табл. 7 даны значения коэффициента j для некоторых конструкционных материалов.

Таблица 7

Гибкость

Коэффициент  j для стержней из материалов

Ст.2, Ст.3, Ст.4

Ст.5

Чугун

Дерево

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

1,00

0,99

0,96

0,94

0,92

0,89

0,86

0,81

0,75

0,69

0,60

0,52

0,45

0,40

0,36

0,32

0,29

0,26

0,23

0,21

0,19

1,00

0,98

0,95

0,92

0,89

0,86

0,82

0,76

0,70

0,62

0,51

0,43

0,36

0,33

0,29

0,26

0,24

0,21

0,19

0,17

0,16

1,00

0,97

0,91

0,81

0,69

0,57

0,44

0,34

0,26

0,20

0,16

1,00

0,99

0,97

0,93

0,87

0,80

0,71

0,60

0,48

0,38

0,31

0,25

0,22

0,18

0,16

0,14

0,12

0,11

0,10

0,09

0,08

 Допускаемая сила с учетом изложенного определяется

.

(4.11)

При необходимости действительный коэффициент запаса по устойчивости определяется по формуле

.

(4.12)

4.4.4. Алгоритм определения [Р] у с использованием

коэффициента j

  1. Определить гибкость стержня по формуле (4.5).

 2. Определить коэффициент j из таблицы 7. Если значение гибкости стержня, определенное в п. 1 алгоритма, равно промежуточному значению по сравнению с двумя соседними значениями, указанными в таблице, то коэффициент j определяется с применением линейной интерполяции (рис. 28). Из рис. 28 следует

.

(4.13)

Выразим j1А, из подобия треугольников jj и j1А2j2 следует

.

Подпись: Рис. 28Выражая отрезки j1А, j2А2, Аj через l1, l2, j1, j2, l и подставляя их в выражение (4.13) получим

.

(4.14)

Примечание. Коэффициент j  необходимо вычислять с точностью до третьей значащей цифры.

 3. Определить  по формуле (4.11).

Примечание. Если в исходных данных к задаче задан , то  определяется с использованием формул Эйлера или Ясинского, если  не задан, а задано , то  определяется с использованием коэффициента j.

 

 

4.4.5. Алгоритм решения задачи К 4.4

 1. Написать условие задачи, изобразить расчетную схему и поперечное сечение стойки, указать на них необходимые размеры. Записать исходные данные.

 2. Определить геометрические характеристики сечения F, Jmin, imin.

  3. Вычислить гибкость стойки по формуле (4.5), определить коэффициент j из табл. 7.

 4. Вычислить  по формуле (4.11).

 5. Найти значение Ркр по формуле Эйлера (4.4) или Ясинского (4.7).

 6. Вычислить коэффициент запаса устойчивости по формуле (4.12).

4.5. Пример решения задачи К 4.4

 Для сжатой стойки, изготовленной из стали Ст. 3, определить допускаемую силу из расчета на устойчивость. При силе, равной допускаемой, вычислить коэффициент запаса устойчивости. Схема закрепления стойки и ее поперечное сечение, состоящее из двух швеллеров, скрепленных с помощью сварки двумя пластинами, показаны на рис. 29.

 Исходные данные: l = 6,83 м,  = 160 МПа, b = 160 мм, d = 8 мм, c = 180 мм, швеллер № 12.

 Решение

 Так как задано , то определение  ведем с использованием коэффициента j.

 1. Определяем геометрические характеристики сечения F, Jmin, imin.

 Изобразим сечение с необходимыми для расчета размерами (рис. 30). Так как сечение имеет две оси симметрии, то эти оси будут главными центральными осями инерции. Центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей.

 Для определения геометрических характеристик сечения определим необходимые геометрические характеристики составляющих элементов сечения – площади и моменты инерции относительно их центральных осей х и у. Все расчеты ведем в сантиметрах.

 Швеллер (1): из таблиц сортамента находим F1 = 13,3 см2,  Jх = 304 см4, Jу = 31,2 см4, z0 = = 1,54 см, h = 12 см, однако, учитывая, что швеллеры на схеме сечения стойки повернуты по сравнению с табличным на 90°, то Jх1 = 31,2 см4, Jу1 = 304 см4.

 Пластина (2): F2 = h×b = 16×0,8 = 12,8 см2,

  = 273 см4,

  = 0,683 см4.

Площадь сечения  см2.

 Главные центральные моменты инерции сечения определяем по формулам для определения центральных моментов инерции через моменты инерции относительно параллельных им нецентральных осей

 ,

 ,

где Jxc , Jуc – центральные (в нашем случае главные центральные) моменты инерции сечения; Fi, Jxi , Jуi – площади и моменты инерции составляющих элементов сечения относительно их центральных осей х и у (но нецентральных для сечения); аi – расстояние от оси хс сечения до оси х составляющего элемента;  bi – расстояние от оси ус сечения до оси у составляющего элемента.

 Для швеллеров а1 = с/2 – z0 = 17/2 – 1,54 =6,96 см, b1 = 0.

 Для пластин а2 = 0, b2 = h/2 + d/2 = 12/2 + 0,8/2 =6,4 см.

Тогда

   см4;

  см4.

Минимальный момент инерции

  см4.

Минимальный радиус инерции

  см.

 2. Определяем гибкость стойки и коэффициент j.

 Учитывая, что для заданной схемы закрепления стойки m = 0,7,

 .

Коэффициент j берем из табл. 7 для стержней, изготовленных из стали Ст. 3. Ближайшее значение гибкости в таблице l1 = 80, для неё j1 = =0,75 и l2 = 90, для неё j2 = 0,69.

 Применяя линейную интерполяцию (формула (4.14)), найдем j для l = 84,5.

 .

 3. Определяем .

  Н = 636 кН.

 4. Определяем Ркр.

 Так как lпред = 100 > l = 84,5 > l0 = 61, то для определения Ркр используем формулу Ясинского

  Н =

 = 1175 кН.

 5. Определяем коэффициент запаса устойчивости

 .

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить   Предположим, что существуют дифференцируемые функции   и , такие, что тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например. .

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:


Лабораторный практикум по сопромату