Математика курс лекций Интегральное исчисление

Первообразная, неопределенный интеграл Интегрирование – обратная задача к дифференцированию.

Таблица неопределенных интегралов

Два основных метода интегрирования

• Замена переменного
• Интегрирование по частям

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Предварительные сведения из алгебры

Разложение дроби на элементарные

Метод неопределенных коэффициентов

Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование дифференциальных биномов

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Определенный интеграл

Интеграл Римана Определения

Суммы Дарбу и их свойства

Критерий интегрируемости

Нижний и верхний интегралы Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D). Верхняя грань берется во всевозможным разбиениям отрезка [a,b]. Аналогично определяется верхний интеграл , как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D).

Теорема Дарбу.

Классы интегрируемых функций

Свойства определенного интеграла

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству

Теорема 2

Теорема 2. Если m £ f(x) £ M на [a,b],f(x), g(x) интегрируемы и g(x) постоянного знака на [a,b], то $ mÎ[m,M] :

f(x)g(x) dx =m g(x) dx.

Доказательство. Пусть g(x)³ 0. Тогда

m g(x) £ f(x)g(x) £ M g(x), откуда

 m g(x) dx £ f(x)g(x) dx £ M g(x) dx (1)

Если g(x) dx = 0 , то из (1) следует, что f(x)g(x) dx = 0 и утверждение теоремы справедливо для любого m. Если g(x) dx ¹ 0 , то поделив выражения в (1) на g(x) dx , получим требуемое соотношение, выбрав в качестве m дробь f(x)g(x) dx / g(x) dx .

Теорема 3

Теорема 4

Теорема 5

Определенный интеграл, как функция верхнего предела

Производная интеграла по верхнему пределу

Формула Ньютона-Лейбница

Методы вычисления определенных интегралов

Замена переменных в определенном интеграле Интегрирование по частям

Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме

Некоторые применения определенного интеграла

Площадь плоской области

Квадрируемые фигуры

Свойства площади

Площадь криволинейной трапеции

Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах.

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Объем Понятие объема вводится аналогично тому, как это делалось для площади, поэтому похожие моменты а этом параграфе будут излагаться конспективно. Известным считается понятие объема элементарной области, т.е. для области, ограниченной многогранником ( сводится к объему тетраэдра, не обязательно правильного). Объединение конечного числа непересекающихся областей такого типа также будет называться многогранником. Далее рассматривается класс пространственных областей, которые ограничены ( содержаться в некотором шаре ) и для которых существует хотя бы один вписанный многогранник. Вписанные многогранники будем обозначать индексом i,Pi описанные Pe . Объем обозначается mP. Объем обладает свойством монотонности, таким образом, всегда mPi £ mPe .

Объем тела вращения

Площадь поверхности вращения

Первая теорема Гюльдена.

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл первого рода

Определение интеграла по бесконечному промежутку.

Пусть функция f(x) определена на [a,¥) и интегрируема на любом [a,R].

Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости

Несобственный интеграл второго рода

Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения

Свойства несобственных интегралов

Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,+¥) и существуют какие-либо два из трех выражений

, , , то существует и третье и= -.

Формула замены переменного

Функции Эйлера

n – мерное евклидово пространство

Метрика. Расстояние.

Неравенство Коши-Буняковского

Геометрическая терминология

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Функции многих переменных

Предел функции

Определение. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rn. Если для "xÎD сопоставлено единственное число uÎR, то говорят, что задана функция, определенная на множестве D. При этом пишут

u=f(x)=f(x1,x2,…,xn),

D  называется областью определения функции f.

Критерий Коши существования конечного предела

Свойства пределов

Повторные пределы (случай n = 2).

Непрерывность функции многих переменных

Определение непрерывности и простейшие свойства

Кривые в n – мерном пространстве

Дальнейшие свойства непрерывных функций

Равномерная непрерывность функции многих переменных

Дифференцируемые функции многих переменных

Дифференцируемость, частные производные функции многих переменных

Определение частной производной

Геометрическая интерпретация частных производных

Простейшие свойства дифференциала

Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть u=f(x) дифференцируема в точке x0 = (x10,x20,…,xn0) и функция j(t),t=(t1,…,tm) дифференцируема в точке t0 и x0 = j(t0). Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция F(t) = f(j(t)) и эта функция дифференцируема в точке t0 и dF = .

Инвариантность формы первого дифференциала

Производная по заданному направлению Градиент

Гладкие поверхности Касательная и нормаль в поверхности

Геометрический смысл дифференциала

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Старшие производные

Дифференциалы высших порядков

Теорема Лагранжа для функций многих переменных

Формула Тейлора для функций многих переменных

Экстремумы функций многих переменных

Необходимые условия экстремума

Достаточные условия для экстремума

Теория неявных функция

Отображение и его матрица

Свойства матрицы Якоби и якобиана

Якобиан обратного отображения

Неявные функции

Существование неявной функции одного переменного

Неявные функции многих переменных

Неявные функции, заданные системой уравнений

Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений

Дифференцируемые отображения

Дифференцируемость. Производные отображения

Регулярные отображения

Функциональная зависимость систем функций

Необходимые и достаточные условия зависимости функций

Условный экстремум Необходимые условия

Условный экстремум Достаточные условия

Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов" Теория поля

Двойной интеграл

Определение двойного интеграла Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD . Пусть f(x,y) ограниченная функция, определенная в области D (область также ограничена). Разобьем область D на части непрерывными линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема (см. рис. ch1_1_1.swf). Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n-1 называется разбиением области D={Dk}. В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Если функция f(x,y) определена на D, то интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

  (1)

Суммы Дарбу и их свойства Определения

Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы

Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу

Классы интегрируемых функций

Свойства определенного интеграла

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству

Вычисление двойных интегралов

Интегрирование по прямоугольнику.

Интегрирование по области, представляющей собой криволинейную трапецию

Замена переменных в двойном интеграле

Отображение плоских областей. Криволинейные координаты

Изменение площади при отображениях

Тройные и n-кратные интегралы

Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать mD , функция f(M)=f(x,y,z) определенная и ограничена в области D. Предположим, что D разбита на кубируемые части Dk (совокупность {Dk} называется разбиением области D). В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk,zk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

  (1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ). Условие MkÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида

Замена переменных в тройном интеграле

Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пример Цилиндрические координаты

Пример 2. Сферические координаты

Замена переменных в общем случае

Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы 1-го рода

Определение, существование

Рассмотрим спрямляемую кривую g и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Ak}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой D={Ak} . На каждой дуге Ak Ak+1 задана промежуточная точка Mk=(xk , hk , zk ), X={ Mk }, обозначим длину дуги Ak Ak+1 через lk . Характеристикой разбиения D назовем величину l(D) = max lk . Составим интегральные суммы следующего вида

s(f,D,X)= (1).

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(D), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

.

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

Криволинейные интегралы 2-го рода

Определение, существование

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода

Формула Грина

Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования

Поверхностные интегралы 1-го рода

Вычисление площади поверхности, заданной параметрически

Определение поверхностного интеграла 1-го рода

Существование и вычисление интеграла 1-го рода

Поверхность задана параметрически

Простейшие свойства интегралов первого рода

Поверхностные интегралы 2-го рода

Определение поверхностного интеграла 2-го рода

Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода

Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода

Формула Стокса

Общий случай

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Формула Остроградского Гаусса

Пример

Элементы теории поля

Введение

Функция u(x,y,z) , заданная в области D будет называться скалярным полем. О векторном поле V=(P,Q,R) речь уже шла в предыдущих параграфах. Ранее было введено понятие градиента скалярного поля V = grad u , который является векторным полем. Функция u называется потенциалом векторного поля, а само поле называется потенциальным. Связь между потенциалом и координатами векторного поля задается соотношением du=Pdx+Qdy+Rdz . Интеграл (V, ds) для замкнутой кривой С называется циркуляцией векторного поля по C. Замкнутая кривая зачастую называется контуром, а интеграл по контуру обозначается (V, ds) и представляет собой работу векторного поля вдоль этого контура. Поле называется безвихревым, если его ротор равен нулю.

Теорема (Условия потенциальности поля) . Пусть в поверхностно односвязной области D задано непрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R). Тогда эквивалентны следующие три условия

Циркуляция векторного поля (V, ds) равна нулю вдоль любого контура, лежащего в D.

Поле V потенциальное, т. е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция, градиентом которой и является данное поле. При этом (V, ds) = u(B) - u(A).

Поле V безвихревое.

Поток векторного поля

Формула Остроградского Гаусса

Теорема

Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы 1-го порядка

примеры

Дифференциальные операторы 2-го порядка

Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразования базисов и координат

Преобразование координат

Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

Выражение градиента в криволинейных координатах

Выражение ротора в криволинейных координатах

Выражение операций теории поля в цилиндрических координатах

Выражение градиента в цилиндрических координатах

Выражение ротора в цилиндрических координатах

Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах

Выражение градиента в сферических координатах

Выражение ротора в сферических координатах

Интегралы, зависящие от параметра

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Теорема

Непрерывность интеграла от параметра

Некоторые свойства функций Эйлера

Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Интеграл Пуассона

Элементы тензорного исчисления

Линейные функционалы. Сопряженное пространство

Определение линейного функционала

Пусть Х – линейное пространство, т. е. множество элементов, среди которых определены две операции: операция сложения x+y для любых двух элементов и операция умножения любого элемента из Х на вещественное или комплексное число ax , удовлетворяющие аксиомам линейного пространства.

Линейный функционал определяется, как отображение из Х в R: y = f(x) , удовлетворяющее свойству f(ax+by)=af(x)+bf(y).

Функционалы можно складывать и умножать на числа. Так, если даны два функционала f1 (x), f2 (x), то сумма определяется по формуле

f (x) = f1 (x)+ f2 (x).

Аналогично определятся функционал

f (x) =a f1 (x).

Можно проверить, что множество всех линейных функционалов над линейным пространством Х с этими операциями сложения функционалов и умножения функционала на число является линейным пространством. Для этого нужно убедиться, что указанные выше операции удовлетворяют следующим свойствам:

для любых функционалов g и f справедливо равенство

f + g = g + f

для любых функционалов f , g , h справедливо равенство

( f + g ) + h = f + ( g + h )

для любых чисел a , b и любого функционала f справедливы равенства

(ab) f=a (b f) , (a+b) f = a f +b f

для любых функционалов f , g и любого числа a имеет место равенство

a ( f + g ) = a f + a g

существует нулевой функционал 0 такой, что для любого функционала f справедливо равенство

0 + f = f

для любого функционала f существует противоположный функционал, обозначаемый –f и удовлетворяющий свойству

f + (–f ) = 0

для любого функционала f выполнено:

1 f = f

Примеры линейных функционалов

Линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством

Формулы преобразования координат

Тензоры

Основные операции над тензорами

Операции симметрирования и альтернирования

Метрический тензор

Полилинейные формы и их связь с тензорами