ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

  Если уравнение  можно записать в виде  или , то это уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл такого уравнения записывается в виде квадратур:

.

 Элементарные преобразования Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s. Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным

Задача 1.

 Найти общий интеграл дифференциального уравнения

. (1)

  Решение. Запишем производную   в виде:

и будем использовать эту запись как дробь (эта возможность следует из инвариантной формы первого дифференциала). Если разделить (1) на , то получим следующее

.

Интегрируя обе части полученного равенства, найдём общий интеграл:

.

Задачи для самостоятельной подготовки

  Решить уравнения с разделяющимися переменными:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) ;

ответить на вопрос:

 почему нельзя решать уравнение второго порядка аналогично, а именно:

.