Основные свойства неопределенного интеграла

 

 Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме их интегралов.

  где u, v, w – некоторые функции от х.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

 

3. Вид интеграла не зависит от выбора переменной интегрирования (инвариантность) т.е, если =, то и =

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

 Интеграл

 Значение

 Интеграл

 Значение

1

 -ln½cosx½+C

9

 ex + C

2

 ln½sinx½+ C

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

15

8

 

16

 

3. Общие методы интегрирования.

  Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

  Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

 Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования  можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

 Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

 Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Пример.

 Способ подстановки (замены переменных).

  Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

 Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

 

правая часть данного равенства есть сложная функция от «х»; t-промежуточная переменная.

=

Если интеграл в правой части окажется табличным, то задача будет решена.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример 2.

Замена   Получаем:

Пример 3.

Пример 4.

  Интегрирование по частям.

 Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

 или ;

  Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. По частям берутся интегралы вида:

 1)   

  

В этих интегралах в качестве u всегда берется

Пример.

 

  2)

 

 3)

Здесь за u всегда принимают обратную тригонометрическую функцию.

 4)

За u принимают lnx.

Пример:

По частям берутся также интегралы вида:

  и 

Двукратным применением формулы интегрирования по частям эти интегралы приводятся сами к себе (т.н. интегралы возврата). Получается алгебраическое уравнение относительно искомого интеграла.

 Пример:

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

  Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Заключение.

Несмотря на то, что применение обобщённой таблицы основных интегралов значительно увеличивает класс функций, интегралы от которых берутся непосредственно, однако существуют многие классы функций, интегрирование которых не может быть выполнено только с помощью этой таблицы. Наша ближайшая задача и будет состоять в том, чтобы научиться интегрировать как можно более широкие классы функций.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач