Методы разложения функций в ряд Тейлора

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Методы разложения функций в ряд Тейлора

Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что данный ряд сходится к данной функции.

Отметим, что для любой элементарной функции существуют числа ,  такие, что в интервале  она разлагается в ряд Тейлора.

Рассмотрим некоторые методы разложения функций в ряд Тейлора на примерах.

Пример 24.

Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

где   - первый член прогрессии,  - знаменатель прогрессии. 

Тогда при  

Пример 25.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции

 

Подставим , получим

Данное разложение имеет место для всех .

Первообразная и неопределённый интеграл.

Введение.

Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла наряду с понятием производной и дифференциала является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны, из потребности решать задачи на вычисление площади, длины окружности, объёма, работы переменной силы, центра тяжести и так далее, с другой – из необходимости находить функции по их производным.

В соответствии с этим возникли понятия определённого и неопределённого интегралов.

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции.

С помощью дифференциального исчисления можно получить локальные характеристики какого, либо процесса, описываемого функциональной зависимостью (например, скорость движения, экстремум, кривизну траектории точки и т. д.). Но часто требуется решить обратную задачу: оценить процесс или явление в некотором смысле в целом, зная некоторые его характеристики) например, зная функцию мгновенной скорости движения, найти путь за определенное время; зная угловой коэффициент касательной к кривой в каждой точке, найти уравнение этой кривой и т. д.) Такая задача решается с помощью интегрального исчисления. Слово «интеграл» в переводе с латинского означает «целый».

Можно поставить обратную задачу: по данной функции  найти такую функцию , которая бы удовлетворяла условию . Отыскание функции по заданной её производной и является одной из основных задач интегрального исчисления.

К задаче восстановления функции по её производной приводят самые разнообразные вопросы математического анализа с его многочисленными приложениями в области геометрии, механики, физики, техники.

1. Первообразная, семейство первообразных.

Поставим задачу: дана функция , найти такую функцию , производная которой равнялась бы заданной функции, т. е. чтобы выполнялось равенство =

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Пример: пусть. Тогда первообразная, так как.Функция также первообразная , так как.

Уже из этого примера видно, что у одной функции  может быть несколько первообразных. В качестве первообразных можно было взять ;

Отсюда ясно, что операция нахождения первообразной не является однозначной. Поставим вопросы:

1) всякая ли функция имеет первообразную?

2) сколько первообразных может иметь функция?

Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы:

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.

Теорема 2. Если функция  есть первообразная функции  на , то всякая другая первообразная для  отличается от  на постоянное слагаемое, т.е может быть представлена в виде

 , где c-const.

Доказательство. Пусть  и - две первообразные для , тогда

  и , т.е

 

Но если две функции на отрезке имеют равные производные, то разность этих функций постоянная, т.е

 -=с или =

Таким образом, функция непрерывная на отрезке имеет на нем бесконечное множество первообразных.

2. Неопределенный интеграл, его простейшие свойства.

Определение: Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией

 комбинация f(x)dx-подынтегральным выражением

х- переменная интегрирования

1) Действие отыскания первообразных называется интегрированием. Оно обратно дифференцированию.

2) При помощи дифференцирования по данной функции находят ее производную, а при помощи неопределенного интегрирования по данной производной находят первообразную функцию.

График первообразной от функции  называется интегральной кривой.

 

Неопределенный интеграл представляется множеством (семейством) интегральных кривых (графиков +с=у), получаемых при параллельном непрерывном движении одной из них вдоль Оу.

Угловой коэффициент к ним равен .

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие равенства:

1.

2.

3.

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач