Методы разложения функций в ряд Тейлора

Методы разложения функций в ряд Тейлора

Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что данный ряд сходится к данной функции.

Отметим, что для любой элементарной функции существуют числа ,  такие, что в интервале   она разлагается в ряд Тейлора.

Рассмотрим некоторые методы разложения функций в ряд Тейлора на примерах.

Пример 24.

Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

где  - первый член прогрессии,  - знаменатель прогрессии. 

Тогда при  

Пример 25.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции

 

Подставим , получим

Данное разложение имеет место для всех .

Первообразная и неопределённый интеграл.

Введение.

Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла наряду с понятием производной и дифференциала является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны, из потребности решать задачи на вычисление площади, длины окружности, объёма, работы переменной силы, центра тяжести и так далее, с другой – из необходимости находить функции по их производным.

В соответствии с этим возникли понятия определённого и неопределённого интегралов.

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции.

С помощью дифференциального исчисления можно получить локальные характеристики какого, либо процесса, описываемого функциональной зависимостью (например, скорость движения, экстремум, кривизну траектории точки и т. д.). Но часто требуется решить обратную задачу: оценить процесс или явление в некотором смысле в целом, зная некоторые его характеристики) например, зная функцию мгновенной скорости движения, найти путь за определенное время; зная угловой коэффициент касательной к кривой в каждой точке, найти уравнение этой кривой и т. д.) Такая задача решается с помощью интегрального исчисления. Слово «интеграл» в переводе с латинского означает «целый».

Можно поставить обратную задачу: по данной функции  найти такую функцию , которая бы удовлетворяла условию . Отыскание функции по заданной её производной и является одной из основных задач интегрального исчисления.

К задаче восстановления функции по её производной приводят самые разнообразные вопросы математического анализа с его многочисленными приложениями в области геометрии, механики, физики, техники.

1. Первообразная, семейство первообразных.

Поставим задачу: дана функция , найти такую функцию , производная которой равнялась бы заданной функции, т. е. чтобы выполнялось равенство =

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Пример: пусть. Тогда первообразная, так как.Функция также первообразная , так как.

Уже из этого примера видно, что у одной функции  может быть несколько первообразных. В качестве первообразных можно было взять ;

Отсюда ясно, что операция нахождения первообразной не является однозначной. Поставим вопросы:

1) всякая ли функция имеет первообразную?

2) сколько первообразных может иметь функция?

Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы:

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.

Теорема 2. Если функция  есть первообразная функции  на , то всякая другая первообразная для  отличается от  на постоянное слагаемое, т.е может быть представлена в виде

 , где c-const.

Доказательство. Пусть  и - две первообразные для , тогда

  и , т.е

 

Но если две функции на отрезке имеют равные производные, то разность этих функций постоянная, т.е

 -=с или =

Таким образом, функция непрерывная на отрезке имеет на нем бесконечное множество первообразных.

2. Неопределенный интеграл, его простейшие свойства.

Определение: Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией

 комбинация f(x)dx-подынтегральным выражением

х- переменная интегрирования

1) Действие отыскания первообразных называется интегрированием. Оно обратно дифференцированию.

2) При помощи дифференцирования по данной функции находят ее производную, а при помощи неопределенного интегрирования по данной производной находят первообразную функцию.

График первообразной от функции  называется интегральной кривой.

 

Неопределенный интеграл представляется множеством (семейством) интегральных кривых (графиков +с=у), получаемых при параллельном непрерывном движении одной из них вдоль Оу.

Угловой коэффициент к ним равен .

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие равенства:

1.

2.

3.

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач