Курс лекций по высшей математике

Метод секущих

В качестве функции ${\lambda}(x)$ берут любую постоянную ${\lambda}_0$ , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная ${\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и ${\lambda}_0$ . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом $\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ . Тогда уравнением этой прямой будет

$\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями. Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Найдём точку пересечения этой прямой с осью

из уравнения

$\displaystyle f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i)=0,$

откуда $x=x_i-{\lambda}_0f(x_i)=x_{i+1}$ . Следовательно, эта прямая пересекает ось

как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки

, через соответствующие точки графика

проводятся секущие с угловым коэффициентом $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ того же знака, что производная

. (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция

или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных

, имеют один и тот же угловой коэффициент

и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью

Рис.9.11.Последовательные итерации метода секущих

На чертеже слева изображены итерации при , в случае $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}<f'(x_0)$ и в случае $k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}>f'(x_0)$ . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае , то есть когда функция убывает.)

Достаточное условие сходимости, которое нам даёт теорема 9.3, таково:

$\displaystyle \vert{\varphi}'(x)\vert=\vert 1-{\lambda}_0f'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1.$

Это неравенство можно записать в виде

$\displaystyle -{\gamma}+1\leqslant {\lambda}_0f'(x)\leqslant {\gamma}+1,$

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

$\displaystyle {\lambda}_0f'(x)>0,$

так как $-{\gamma}+1>0$ (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ${\lambda}_0$ ), а во-вторых, когда ${\lambda}_0f'(x)<2$ при всех

на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

$\displaystyle \vert k\vert=\dfrac{1}{\vert{\lambda}_0\vert}>\dfrac{M_1}{2},$

где $M_1=\max\limits_{x}\vert f'(x)\vert$ . Таким образом, угловой коэффициент

не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка

может выскочить из рассматриваемой окрестности корня

, и сходимость итераций к корню может быть нарушена.

Назад Метод простых итераций

Наверх: Приближённое нахождение корней уравнений

Вперед: Метод одной касательной

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник