Курс лекций по высшей математике

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

В разделе "Матрица линейного преобразования" мы выяснили, что каждое линейное преобразование

-мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае.

Теорема 19.2 Пусть $\mathcal{A}$ -- линейное преобразование -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda}_1&0&\ldots&0\\ 0&{\lambda}_2&\ldots&0\\ \hdotsfor{4}\\ 0&0&\ldots&{\lambda}_n\end{array}\right)$

(19.5)

Полное приращение и полный дифференциал ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы

тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования $\mathcal{A}$ , соответствующими собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2, \ldots,\,{\lambda}_n}$ .

Доказательство. Пусть преобразование $\mathcal{A}$ имеет линейно независимых собственных векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , соответствующих собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ . Так как векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования $\mathcal{A}$ в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора ${\mathcal{A}(e_1)}$ . Так как ${e_1}$ -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)={\lambda}_1e_1={\lambda}_1e_1+0e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $\left(\begin{array}{c}{\lambda}_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Второй столбец матрицы

является координатным столбцом вектора ${\mathcal{A} (e_2)}$ . Так как ${e_2}$ -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)={\lambda}_2e_2=0e_1+{\lambda}_2e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $\left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda}_2\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования $\mathcal{A}$ в базисе ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеет вид (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора . Этот вектор имеет координатный столбец $\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , его образ имеет координатный столбец

$\displaystyle A\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)= \le... ...}\right)={\lambda}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right).$

Следовательно, ${\lambda}_1$ -- собственное число преобразования $\mathcal{A}$ , а

-- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор

является собственным вектором преобразования $\mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу ${\lambda}_i$ .

Следствие 19.2 Если у матрицы порядка существует набор из линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ , то матрица подобна диагональной матрице с числами ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ на диагонали.

Теорема 19.3 Пусть собственные векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $\mathcal{A}$ соответствуют собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если , то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор -- ненулевой.

Пусть утверждение верно для системы векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ . Составим линейную комбинацию векторов ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ и приравняем ее к нулю

$\displaystyle \mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k=0.$

(19.6)

К обеим частям применим преобразование $\mathcal{A}$

$\displaystyle \mathcal{A}(\mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k)=0.$

По определению линейного преобразования получим

$\displaystyle \mu_1\mathcal{A}(e_1)+\mu_2\mathcal{A}(e_2)+\ldots+\mu_k\mathcal{A}(e_k)=0.$

Так как ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ -- собственные векторы, то

$\displaystyle \mu_1{\lambda}_1 e_1+\mu_2{\lambda}_2 e_2+\ldots+\mu_k{\lambda}_ke_k=0.$

Умножим равенство (19.6) на ${\lambda}_k$ и вычтем из последнего равенства. Получим

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k) e_1+\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k) e_2+\ldots+\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1} -{\lambda}_k)e_k=0.$

Так как по предположению индукции векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ линейно независимы, то

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k)=\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k)=\ldots=\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k)=0.$

По условию ${{\lambda}_1-{\lambda}_k\ne0,\;{\lambda}_2-{\lambda}_k\ne0,\ldots,\;{\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k\ne0}$ , следовательно, ${\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_{k-1}=0}$ . Подставим эти значения в (19.6), получим ${\mu_k=0}$ . Получили, что из равенства (19.6) следует ${\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k=0}$ , то есть векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ линейно независимы.

Следствие 19.3 Если матрица порядка имеет попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник