Векторная алгебра Аналит. геометрия | Диф. уравнения |Широковещательные сети и протоколы Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7 | Вычислим интеграл Выпуклость функции Быстрое нанесение размеров

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 |

Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Курс лекций по высшей математике начало

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и $ {e_1',\ldots,\,e_n'}$  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть $ S$  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование пространства $ L$ , $ A$ и $ A'$  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Примеры решения и оформления задач контрольной работы

$\displaystyle A'=S^{-1}AS.$

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

        Доказательство.     Пусть $ x$  -- произвольный вектор пространства $ L$ , $ y$  -- его образ, то есть $ {y=\mathcal{A}(x)}$ . Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$  -- координатные столбцы векторов $ x$ и $ y$ в старом базисе, а $ {\alpha}'$ , $ {\beta}'$  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) $ {{\beta}=A{\alpha}}$ . По  предложению 18.5 имеем $ {{\alpha}=S{\alpha}'}$ , $ {{\beta}=S{\beta}'}$ . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем $ {S{\beta}'=A(S{\alpha}')}$ . Откуда $ {{\beta}'=(S^{-1}AS){\alpha}'}$ . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе $ {{\beta}'=A'{\alpha}'}$ . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем $ {A'=S^{-1}AS}$ .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы $ P$ и $ Q$ одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица $ S$ , что $ {P=S^{-1}QS}$ .         

        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.


Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления
Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле
Призматоид многогранник