Курс лекций по высшей математике

Определение и примеры

Рассмотрим линейное пространство

и преобразование $\mathcal{A}$ этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору

из

соответствует вектор

из того же пространства. Вектор

называется образом вектора

и обозначается ${\mathcal{A}(x)}$ , а вектор

называется прообразом вектора

Определение 19.1 Преобразование $\mathcal{A}$ линейного пространства

называется линейным, если для любых векторов

и любого числа ${\alpha}$ выполнены равенства

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность Примеры решения и оформления задач контрольной работы

$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y),\quad \mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x),$

(19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.

Замечание 19.1 В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.

Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

$\displaystyle \mathcal{A}\left(\sum_{i=1}^k{\alpha}x_i\right)=\sum_{i=1}^k{\alpha}\mathcal{A}(x_i),$

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

Пример 19.1 Пусть

-- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть ${\mathcal{A}(x)=2x}$ . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование $\mathcal{A}$ можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).

Рис.19.1.Преобразование растяжения

Проверим выполнение равенств (19.1)

$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=2(x+y)=2x+2y=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y),$

$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)=2({\alpha}x)=2{\alpha}x={\alpha}(2x)={\alpha}\mathcal{A}(x).$

Равенства (19.1) выполнены, следовательно, преобразование $\mathcal{A}$ является линейным.

Пример 19.2 Пусть

-- двумерное векторное пространство, $\mathcal{A}$ -- поворот вектора по часовой стрелке на угол ${\varphi}$ (рис. 19.2).

Рис.19.2.Преобразование поворота

Покажем, что это -- линейное преобразование.

Пусть и -- два вектора. Тогда -- это диагональ параллелограмма со стронами , (рис. 19.3).

Рис.19.3.Образ суммы векторов

Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол ${\varphi}$ , то его стороны станут векторами $\mathcal{A}(x)$ и $\mathcal{A}(y)$ , диагональ будет вектором ${\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)}$ . С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол ${\varphi}$ и поэтому является вектором ${\mathcal{A}(x+y)}$ . Следовательно, ${\mathcal{A}(x+y)= \mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)}$ , первое из условий (19.1) выполнено.

Пусть ${\alpha}$ -- число. Из рисунка 19.4 очевидно, что ${\mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x)}$ .

Рис.19.4.Образ вектора, умноженного на число

Следовательно, преобразование $\mathcal{A}$ -- линейное.

Упражнение19.1.1. Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $\mathcal{A}$ -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Другими словами, является зеркальным отражением вектора в прямой .

Рис.19.5.Преобразование отражения

Докажите, что $\mathcal{A}$ является линейным преобразованием.

Упражнение19.1.2. Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $\mathcal{A}$ -- преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6).

Рис.19.6.Преобразование проектирования

Докажите, что $\mathcal{A}$ является линейным преобразованием.

Пример 19.3 Пусть

-- пространство всех многочленов, $\mathcal{A}$ -- преобразование, которое переводит вектор из

, то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из

. Пусть ${x\in L}$ , то есть ${x=a_0+a_1t+a_2t^2+\ldots+a_kt^k}$ . Тогда

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=x'=a_1+2a_2t+\ldots+ka_kt^{k-1}.$

Например, если ${x=1-3t+t^2+2t^3}$ , то ${\mathcal{A}(x)=-3+2t+6t^2}$ . Покажем, что преобразование $\mathcal{A}$ является линейным.

Пусть $x,y\in L$ , ${\alpha}$ -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим

$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=(x+y)'=x'+y'=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y).$

Аналогично,

$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)=({\alpha}x)'={\alpha}x'={\alpha}\mathcal{A}(x).$

Следовательно, $\mathcal{A}$ -- линейное преобразование.

Пример 19.4 Пусть

-мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда у любого вектора

есть его координатный столбец ${{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ . Пусть

-- квадратная матрица порядка

. Определим преобразование $\mathcal{A}$ следующим образом: ${x'=\mathcal{A}(x)}$ является вектором, координатный столбец которого равен ${{\alpha}'=A{\alpha}}$ (справа стоит произведение матрицы

на столбец ${\alpha}$ ). Покажем, что преобразование $\mathcal{A}$ -- линейное.

Пусть и имеют координатные столбцы ${\alpha}$ и ${\beta}$ соответственно, а их образы $\mathcal{A}(x)$ и $\mathcal{A}(y)$ -- координатные столбцы ${\alpha}'$ , и ${\beta}'$ . Тогда

$\displaystyle {\alpha}'=A{\alpha},\quad {\beta}'=A{\beta},\quad {\alpha}'+{\beta}'=A{\alpha}+A{\beta}=A({\alpha}+{\beta}).$

Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов

. Следовательно, ${\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)=\mathcal{A}(x+y)}$ .

Пусть ${\lambda}$ -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора ${\lambda}x$ равен ${\lambda}{\alpha}$ , координатный столбец образа вектора

$\displaystyle A({\lambda}x)={\lambda}A{\alpha}={\lambda}{\alpha}',$

то есть равен числу ${\lambda}$ , умноженному на координатный столбец образа вектора

. Поэтому ${\mathcal{A}({\lambda}x)={\lambda}\mathcal{A}(x)}$ . Тем самым мы доказали, что преобразование $\mathcal{A}$ является линейным.

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, ${\mathcal{A}(x)=x}$ , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, ${\mathcal{A}(x)=0}$ .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования $\mathcal{A}$ образ нуля равен нулю, ${\mathcal{A}(0)=0}$ . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

$\displaystyle \mathcal{A}(0)=\mathcal{A}(0\cdot x)=0\cdot\mathcal{A}(x)=0.$

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник