Курс лекций по высшей математике

Упражнения

Упражнение 8.3 Найдите вершины кубической параболы ${y=x^3}$ . Вычислите кривизну во всех этих вершинах.

Ответ:

Вершины расположены при и при $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[4]{45}}$ . Кривизна при равна 0 (это точка перегиба); в остальных двух вершинах: $k=\dfrac{5\sqrt[4]{5}}{3\sqrt{2}}$ .

Для справки:

$\displaystyle k(x)=\dfrac{6\vert x\vert}{(1+9x^4)^{\frac{3}{2}}}; k'(x)=\dfrac{6(1-45x^4)}{(1+9x^4)^{\frac{5}{2}}}$ (при $x\geqslant 0$ ) $\displaystyle .$

Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Упражнение 8.4 Найдите кривизну

кривой $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ при произвольном значении

Ответ:

$\displaystyle k(x)=\dfrac{2\vert 3x^2-1\vert(x^2+1)^3}{((x^2+1)^4+4x^2)^{\frac{3}{2}}}.$