Векторная алгебра Аналит. геометрия | Диф. уравнения |Широковещательные сети и протоколы Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7 | Вычислим интеграл Выпуклость функции Быстрое нанесение размеров

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 |

Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Курс лекций по высшей математике начало

Аффинное $ n$ -мерное пространство

Если в обычном трехмерном пространстве выбрана система координат Oxyz , то каждая точка $ A$ этого пространства отождествлялась с тройкой чисел -- координатами вектора $ \overrightarrow {OA}$ . Аналогично мы можем считать, что набор из $ n$ чисел является точкой $ n$ -мерного пространства и рассматривать этот набор как координаты радиус-вектора этой точки. Такое $ n$ -мерное пространство в отличие от векторного называется аффинным $ n$ -мерным пространством. За начало координат принимается точка $ {(0,\,0,\ldots,\,0)}$ . За единичные векторы на осях координат в этом случае принимаются радиус-векторы точек

Найти частные производные ,  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0. Примеры решения и оформления задач контрольной работы

$\displaystyle (1,\,0,\ldots,\,0),\;(0,\,1,\ldots,\,0),\ldots,\,(0,\,0,\ldots,\,1).$

Любым двум точкам $ A$ и $ B$ аффинного пространства можно сопоставить вектор $ \overrightarrow {AB}$ из $ n$ -мерного линейного пространства. Для получения координат вектора $ \overrightarrow {AB}$ нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала.

        Пример 18.6   Пусть $ {A=(1,\,2,\,-1,\,3)}$ , $ {B=(2,\,0,\,-3,\,4)}$  -- точки четырехмерного пространства. Тогда вектор $ \overrightarrow {AB}$ имеет координатный столбец $ {\left(\begin{array}{c}2-1\\ 0-2\\ -3-(-1)\\ 4-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -2\\ 1\end{array}\right)}$ .         

Параллельный перенос осей координат осуществляется по формулам, аналогичным  (13.21). Пусть точка $ O'$ , являющаяся началом новой системы координат, имеет координаты $ {(x_1,\,x_2,\ldots,\,x_n)}$ . Пусть $ M$  -- некоторая точка пространства с координатами $ {(y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n)}$ в старой системе координат и $ {(\tilde y_1,\,\tilde y_2,\ldots,\,\tilde y_n)}$ в новой системе координат. Тогда связь между старыми и новыми координатами задается формулами

$\displaystyle \tilde y_1=y_1-x_1,\;\tilde y_2=y_2-x_2,\ldots,\;\tilde y_n=y_n-x_n.$

В трехмерном пространстве уравнение $ {Ax+By+Cz=D}$ задает плоскость. Аналогично в $ n$ -мерном пространстве уравнение

$\displaystyle A_1x_1+A_2x_2+\ldots+A_nx_n=B,$

где $ {A_1,\,A_2,\dots,\,A_n,\,B}$  -- числа, задает плоскость размерности $ {n-1}$ , обычно ее называют гиперплоскостью. В трехмерном пространстве система из двух уравнений задает прямую. В $ n$ -мерном пространстве система

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...\ \hdotsfor{1}\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.$

из $ m$ уравнений, $ {m<n}$ , задает плоскость размерности $ {n-m }$ , если ранг матрицы системы равен $ m$ .

Если для векторов задано скалярное произведение формулой  (18.3), то в аффинном пространстве можно определять расстояние между точками. Пусть $ {A=(x_1,\,x_2,\ldots,\,x_n)}$ , $ {B=(y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n)}$  -- точки пространства, тогда расстояние между ними

$\displaystyle \vert AB\vert=\vert\overrightarrow {AB}\vert=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\ldots+(y_n-x_n)^2}.$

В соответствии с этим говорят, что уравнение

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=R^2$

задает в $ n$ -мерном вещественном пространстве $ (n-1)$ -мерную сферу, а неравенство

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leqslant R^2$

задает $ n$ -мерный шар радиуса $ R$ с центром в начале координат. В аффинном $ n$ -мерном пространстве можно рассматривать поверхности второго порядка. Их типов оказывается тоже конечное число.

Можно рассматривать множество точек, задаваемых уравнением $ {F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0}$ . При некоторых ограничениях на функцию $ F$ , это уравнение будет определять $ (n-1)$ -мерную поверхность (гиперповерхность), а неравенство $ {F(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leqslant 0}$  -- область в $ n$ -мерном аффинном пространстве.

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления
Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр Suchmaschinenmarketing steht und faellt mit dem Know-how des Werbenden.
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Die Internetagentur Sellways.net aus Koeln hat den Finger am Puls der Zeit.
Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Sportler mit Knieschmerzen haben oft einen langen Leidensweg hinter sich.
Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Wer sich an Internetwerbung versucht, muss wissen was er erreichen will.
Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле
Призматоид многогранник