Проекции вектора

Проекции вектора

Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию.

Пусть в пространстве задана некоторая ось , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 10.21 Проекцией точки

на ось

называется число, соответствующее основанию перпендикуляра

, опущенного на ось

из точки

Определение 10.22 Проекцией вектора $\overrightarrow {AB}$ на ось

называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекцию будем обозначать $Пр_l\,\overrightarrow {AB}$ . На рис. 10.18 ${ Пр_l\,\overrightarrow {AB} ={\beta}-{\alpha}}$ .

Рис.10.18.Проекция вектора на ось

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

Легко проверить, что если ${\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD}}$ , то ${ Пр_l\,\overrightarrow {AB} =Пр_l\,\overrightarrow {CD}}$ , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

Предложение 10.13 Пусть ${\varphi}$ -- угол, образованный вектором a с осью . Тогда ${ Пр_l{\bf a}=\vert{\bf a}\vert\cos{\varphi}}$ .

Доказательство. Пусть угол ${\varphi}$ -- острый. Тогда в соответствии с рис. 10.19 получим ${{\beta}-{\alpha}=\vert{\bf a}\vert\cos{\varphi}}$ .

Рис.10.19.

Если угол ${\varphi}$ тупой, то в соответствии с рис.10.20 находим ${{\alpha}-{\beta}=-\vert{\bf a}\vert\cos\psi}$ ,

Рис.10.20.

откуда ${\beta}-{\alpha}=\vert{\bf a}\vert\cos{\varphi}$ .

Предложение 10.14 Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций.

Если проекции слагаемых одного знака, то доказательство очевидно из рис. 10.21.

Рис.10.21.Проекция суммы

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

Случай проекций разных знаков читатель может проанализировать самостоятельно или прочесть в одном из учебников из списка литературы.

Предложение 10.15 Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число.

Доказательство очевидно из подобия треугольников на рис. 10.22.

Рис.10.22.Проекция произведения вектора на число

Определение 10.23 Проекцией вектораbна векторa, ${\bf a}\ne0$ , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.

Проекция вектора b на вектор a обозначается $Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ .

Очевидно, что $Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где ${\varphi}$ -- угол между векторами a и b.

Предложение 10.16 Проекции вектора на координатные оси равны коодинатам вектора.

Определение 10.24 Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.

Рис.10.23.Направляющие косинусы вектора

В соответствии с рис. 10.23, направляющими косинусами вектора a являются $\cos{\alpha}$ , $\cos{\beta}$ , $\cos{\gamma}$ .

Предложение 10.17 Координаты вектора равны его направляющим косинусам, умноженным на длину вектора. Если вектор единичный, то его координатами служат направляющие косинусы.

Доказательство предложений 10.16, 10.17 предоставляется в качестве упражнения читателю.
Назад Система координат и координаты вектора

Наверх:Векторная алгебра
Вперед:Скалярное произведение

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник

Курс лекций по высшей математике

Проекции вектора