Упражнения

Упражнение 6.5 Найдите разложение по формуле Тейлора в точке

функций
а) $f(x)=e^{-x}$ ;
б) $f(x)=e^{3x}$ ;
в) $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ ;
г) $f(x)=\sin x^2$ ;
д) $f(x)=\cos3x$ ;
е) $f(x)=\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}$ ;
ж) $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ ;
з) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

Ответы:

а) $e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+ R_n(x)$ ;

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

б) $e^{3x}=1+3x+\dfrac{3^2}{2!}x^2-\dfrac{3^3}{3!}x^3+\ldots+ (-1)^n\dfrac{3^n}{n!}x^n+R_n(x)$ ;

в) $e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{2^22!}- \dfrac{x^6}{2^33!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^nn!}+R_{2n+1}(x)$ ;

г) $\sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{4k-2}}{(2k-1)!}+R_{4k+1}(x)$ ;

д) $\cos3x=1-\frac{3^2}{2!}x^2+\frac{3^4}{4!}x^4-\frac{3^6}{6!}x^6+\ldots+ (-1)^k\frac{3^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+R_{2k+1}(x)$ ;

е) $\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\ldots+ \frac{x^k}{(2k)!}+R_k(x)$ ;

ж) $\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^kx^{2k}+R_{2k+1}(x)$ ;

з) $\sqrt{1-x^2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+ \dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+ \dfrac{1\cdot3\... ...1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}x^{2k}+ R_{2k+1}(x)$ .

Упражнение 6.6 Найдите следующие пределы, применив разложение числителя и знаменателя по формуле Тейлора:
а) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1-x^3}{\sin3x^2-3x^2}$ ;
б) $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1-x^2)+x^2+\frac{x^4}{2}}{e^{2x^2}-1-2x^2-2x^4}$ .

Ответы:
а) $-\frac{1}{9}$ ;
б) $-\frac{1}{4}$ .

Курс лекций по высшей математике

Упражнения