1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 |

Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Курс лекций по высшей математике начало

Поля

        Определение 16.3   Полем называется коммутативное кольцо с единицей, в котором любой элемент, отличный от нуля, имеет обратный.         

Термин "кольцо с единицей" означает, что в кольце существет такой элемент $ e$ , что для любого элемента $ a$ выполнено $ {ae=a}$ и $ {ea=a}$ . Можно доказать, что элемент $ e$ , если он существует, определяется однозначно. Обратным элементом к элементу $ a$ называется такой элемент $ b$ , что $ {ab=e}$ . Можно доказать, что при этом $ {ba=e}$ , и что элемент $ b$ определяется однозначно. Обратный элемент к элементу $ a$ обозначается $ a^{-1}$ .

Примерами полей служат множество рациональных чисел и множество вещественных чисел. Последнее обычно обозначается $ \mathbb{R}$ . Можно доказать, что кольцо $ \mathbb{Z}_n$ также будет полем, если $ n$  -- простое число. Например, при $ {n=5}$ обратные элементы определяются так:

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

$\displaystyle 1^{-1}=1,\quad2^{-1}=3,\quad3^{-1}=2,\quad4^{-1}=4.$

Еще один пример поля получим, если рассмотрим множество несократимых дробей вида $ \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , где $ P(x)$ и $ Q(x)$  -- многочлены, причем коэффициент при старшей степени $ x$ в многочлене $ Q(x)$ равен единице. Сложение и умножение производится по обычным правилам сложения и умножения дробей, только в результате обязательно производится сокращение на общий множитель, если таковой имеется. Заметим, что многочлен $ P(x)$ может иметь нулевую степень, то есть являться обычным числом, многочлен $ Q(x)$ тоже может быть числом, но в этом случае он обязательно равен 1.

Такое поле носит название поля дробно-рациональных функций.

В следующей главе мы рассмотрим еще один, очень важный, пример поля, а именно, поле комплексных чисел.


Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления
Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле
Призматоид многогранник