Кольца

Определение 16.2 Непустое множество $\mathcal{K}$ , на котором заданы две операции: сложение и умножение, будем называть кольцом, если выполнены следующие требования:

по отношению к операции сложения множество $\mathcal{K}$ является абелевой группой;
для любых $a,\,b,\,c$ из $\mathcal{K}$ выполнено (ассоциативность умножения);
для любых $a,\,b,\,c$ из $\mathcal{K}$ выполнено , (дистрибутивность умножения);

Если умножение является коммутативной операцией, то кольцо называется коммутативным. Примерами коммутативных колец служат:

Некоммутативным кольцом является множество квадратных матриц порядка

с обычными операциями сложениия и умножения матриц.

Рассмотрим пример кольца, содержащего конечное число элементов.

Пример 16.5 Пусть $\mathcal{K}$ -- множество, содержащее

элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,...,

Обозначим ${\rm mod}\,(k,n)$ , при $k\geqslant 0$ , остаток от деления числа на число . Операцию сложения на множестве $\mathcal{K}$ определим следующим образом: для любых , из $\mathcal{K}$

$\displaystyle a+b={\rm mod}\,(a+b,n),$

где в левой части стоит сложение на множестве $\mathcal{K}$ , а в правой части под знаком $''{\rm mod}\,''$ стоит обычное сложение чисел.

Если взять , то по новому правилу сложения получим: , (число 5 делится на 5, остаток равен 0), (число 8 при делении на 5 дает в остатке 3).

Операцию умножения на множестве $\mathcal{K}$ определим аналогично:

$\displaystyle a\cdot b={\rm mod}\,(ab,n),$

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

где в левой части стоит умножение на множестве $\mathcal{K}$ , а в правой части, под знаком $''{\rm mod}\,''$ стоит обычное произведение чисел.

Если, как и раньше, взять , то по новому правилу умножения получим: ${2\cdot 2=4}$ , ${2\cdot 3=1}$ (число 6 делится на 5 с остатком 1), ${4\cdot 3=2}$ (число 12 делится на 5 с остатком 2).

Можно показать, что множество $\mathcal{K}$ с введенными таким образом операциями является коммутативным кольцом. Обозначается оно обычно $\mathbb{Z}_n$ .

Если не является простым числом, то в кольце $\mathbb{Z}_n$ есть делители нуля. Например, в $\mathbb{Z}_6$ выполнено ${3\cdot4=0}$ , так как число 12 делится на 6.

Если в примере 16.1, указанную там операцию назвать сложением и обозначить знаком "+", а умножение определить так:

Исходя из определения кольца, можно доказать, что в нем выполняются привычные свойства умножения и сложения, то есть

Курс лекций по высшей математике

Кольца