Группы

Определение 16.1 Группой называется непустое множество $\mathfrak{G}$ , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:

для любых $\mathfrak{a},\,\mathfrak{b},\,\mathfrak{c}\in\mathfrak{G}$ выполнено
$\displaystyle (\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b})\propto\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\propto(\mathfrak{b}\propto\mathfrak{c})$
(свойство ассоциативности);
существует такой элемент $\mathfrak{e}$ , $\mathfrak{e}\in \mathfrak{G}$ , что для любого элемента $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , выполнено
$\displaystyle \mathfrak{a}\propto\mathfrak{e}=\mathfrak{a}$
(существование единицы или нуля);
для любого элемента $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , существует такой элемент $\tilde\mathfrak{a}$ , $\tilde\mathfrak{a}\in\mathfrak{G}$ , что
$\displaystyle \mathfrak{a}\propto\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}$
(существование обратного элемента).

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

Пример 16.2 Пусть $\mathfrak{G}$ -- множество целых чисел. В качестве операции $\propto$ возьмем операцию сложения чисел. Тогда требования к операции записываются так:

$(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})+\mathfrak{c}=\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})$ ;
существует такое число $\mathfrak{e}$ , что для любого числа $\mathfrak{a}$ выполнено ${\mathfrak{a}+\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ ;
для любого числа $\mathfrak{a}$ существует такое число $\tilde\mathfrak{a}$ , что ${\mathfrak{a}+\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Очевидно, что все три свойства для целых чисел выполнены, причем числом $\mathfrak{e}$ является число 0, а числом $\tilde\mathfrak{a}$ является число $-\mathfrak{a}$ . Таким образом, множество целых чисел с операцией сложения является группой. Обозначается оно обычно $\mathbb{Z}$ .

Множество рациональных чисел с операцией сложения и множество вещественных чисел с операцией сложения тоже являются группами. Предоставляем проверку этого факта читателю. Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел, которая в свою очередь является подгруппой группы вещественных чисел по сложению.

Пример 16.3 Пусть $\mathfrak{G}$ -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции " $\propto$ " возьмем операцию обычного умножения. Тогда требования к операции запишутся так:

$(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\mathfrak{c}=\mathfrak{a}(\mathfrak{b}\mathfrak{c})$ ;
существует такое число $\mathfrak{e}$ , что ${\mathfrak{a}\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ для любого числа $\mathfrak{a}$ ;
для любого числа $\mathfrak{a}$ существует такое число $\tilde\mathfrak{a}$ , что ${\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Очевидно, что эти требования выполнены, причем ${\mathfrak{e}=1}$ , а ${\tilde \mathfrak{a}=\mathfrak{a}^{-1}}$ . Таким образом множество положительных чисел с операцией умножения является группой.

Множество вещественных чисел с операцией умножения группой не является. Действительно, если $\mathfrak{a}$ взять равным нулю, то нет такого числа $\tilde\mathfrak{a}$ , чтобы ${\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=1}$ , так как ${0\cdot\tilde\mathfrak{a}=0}$ . Множество же вещественных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения является группой. Проверку этого факта предоставляем читателю.

Пример 16.4 Множество $\mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией " $\propto$ " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек ${(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto\mathfrak{a}}$ , ${(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto \mathfrak{b}}$ и т.д. Роль элемента $\mathfrak{e}$ выполняет элемент $\mathfrak{a}$ . Обратные элементы: ${\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , ${\tilde\mathfrak{b}=\mathfrak{b}}$ .

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция " $\propto$ " обладала свойством коммутативности: ${\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\propto\mathfrak{a}}$ . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество $\mathfrak{G}$ , состоящее из квадратных матриц порядка

с ненулевым определителем и в качестве операции " $\propto$ " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента $\mathfrak{e}$ выполняет единичная матрица

, и для элемента $\mathfrak{a}$ , являющегося матрицей

, элементом $\tilde\mathfrak{a}$ служит матрица $A^{-1}$ . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают "

", элемент $\mathfrak{e}$ называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент $\tilde\mathfrak{a}$ называют противоположным элементу $\mathfrak{a}$ и обозначают " $-\mathfrak{a}$ ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, $\mathfrak{e}$ называют единицей группы, а элемент $\tilde\mathfrak{a}$ -- обратным элементом к $\mathfrak{a}$ и обозначают $\mathfrak{a}^{-1}$ .

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент $\mathfrak{e}$ только один, что для любого элемента $\mathfrak{a}$ выполнено условие ${\mathfrak{a}\mathfrak{e}= \mathfrak{e}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , что элемент $\tilde\mathfrak{a}$ для элемента $\mathfrak{a}$ определяется однозначно и что ${\tilde\mathfrak{a}\mathfrak{a}= \mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.

Курс лекций по высшей математике

Группы