Векторная алгебра Аналит. геометрия | Диф. уравнения |Широковещательные сети и протоколы Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7 | Вычислим интеграл Выпуклость функции Быстрое нанесение размеров

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 |

Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Курс лекций по высшей математике начало

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде $ {Ax=b}$ , где матрица $ A$ имеет размеры $ {m\times n}$ .

        Предложение 15.4   Пусть $ c$ и $ d$  -- решения неоднородной системы $ {Ax=b}$ . Тогда их разность $ {g=c-d}$ является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы $ {Ax=0}$ .

        Доказательство.     По условию $ {Ac=b}$ и $ {Ad=b}$ . Тогда

$\displaystyle Ag=A(c-d)=Ac-Ad=b-b=0.$

Так как $ {Ag=0}$ , то $ g$  -- решение однородной системы.     

        Предложение 15.5   Пусть $ c$  -- решение неоднородной системы $ {Ax=b}$ , $ g$  -- любое решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {d=c+g}$  -- решение неоднородной системы.    

Доказательство предоставляется читателю.

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

        Определение 15.7   Пусть $ x^{(0)}$  -- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений $ {Ax=b}$ , $ z$  -- общее решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение $ {x=x^{(0)}+z}$ называется общим решением неоднородной системы.         

Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ , получаем для общего решения неоднородной системы формулу

$\displaystyle x=x^{(0)}+C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)}.$

Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ .

        Теорема 15.4   Система линейных уравнений $ {Ax=b}$ может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.

        Доказательство.     Пусть система имеет решение $ x^{(0)}$ . Если однородная система $ {Ax=0}$ имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что $ x^{(0)}$  -- единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент $ C_1$ , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.     

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления
Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле
Призматоид многогранник