Обратная матрица

Определение 14.8 Матрица

называется обратной матрицей для квадратной матрицы

, если

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается $A^{-1}$ . Таким образом, если $A^{-1}$ существует, то ${AA^{-1}=A^{-1}A=E}$ .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы $A^{-1}$ , то есть ${(A^{-1})^{-1}=A}$ . Про матрицы и $A^{-1}$ можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Предложение 14.20 Если матрица имеет обратную, то ${\vert A\vert\ne0}$ и ${\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .

Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то ${\vert AA^{-1}\vert=\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert}$ . По следствию 14.1 ${\vert E\vert=1}$ , поэтому ${\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=1}$ , что невозможно при ${\vert A\vert=0}$ . Из предыдущего равенства следует также ${\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 14.9 Квадратную матрицу

назовем вырожденной или особенной матрицей, если ${\vert A\vert=0}$ , и невырожденной или неособенной матрицей, если ${\vert A\vert\ne0}$ .

Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство. Пусть две матрицы

являются обратными для матрицы

. Тогда

$\displaystyle BAC=(BA)C=EC=C$ и $\displaystyle \quad BAC=B(AC)=BE=B.$

Следовательно,

Предложение 14.22 Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{\vert A\vert}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}... ...n2}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

(14.14)

где $A_{ij}$ -- алгебраические дополнения к элементам $a_{ij}$ .

Доказательство. Так как для невырожденной матрицы

правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы

. Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой

. Тогда нужно проверить, что

и что

. Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.

Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что ${b_{kj}=\dfrac{A_{jk}}{\vert A\vert}}$ :

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\frac{A_{jk}}{\vert A\vert}= \frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}.$

Если $i\ne j$ , то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть ${c_{ij}=0}$ при ${i\ne j}$ .

Если , то

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$

Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы

по

-ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\cdot \vert A\vert=1.$

Итак, в матрице

диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.

Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

Замечание 14.12 Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Решение. Находим определитель

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\... ...ray}\right\vert+0\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}\right\vert=8.$

Так как $\vert A\vert\ne0$ , то матрица

-- невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\... ..._{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}3&2\\ -1&1\end{array}\right\vert=-5,$

$\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}... ...A_{21}=(-1)^{2+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 3&1\end{array}\right\vert=2,$

$\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ -1&1\end{array}... ...{23}=(-1)^{2+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&3\end{array}\right\vert=-1,$

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 4&2\end{array}... ...A_{32}=(-1)^{3+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ 3&2\end{array}\right\vert=-2,$

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ 3&4\end{array}\right\vert=10.$

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

$\displaystyle A^{-1}=\frac18\left(\begin{array}{rrr}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 13&-1&10\end{array}\right).$

(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Замечание 14.13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

$\displaystyle A^{-1}= \left(\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac11}-\frac28&\frac... ...8&-\frac14\\ \phantom{\dfrac11}\frac{13}8&-\frac18&\frac54\end{array}\right).$

(14.16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы

-- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя $\frac1{\vert A\vert}$ впереди.

Замечание 14.14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Решение.

$\displaystyle \vert A\vert=11\ne0\quad\Rightarrow\quad A^{-1}$ -- существует.

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot5=5,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-2)=2,$

$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot3=-3,\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1.$

Ответ: $A^{-1}=\dfrac1{11}\left(\begin{array}{rr}5&-3\\ 2&1\end{array}\right)$ .

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник

Курс лекций по высшей математике

Обратная матрица