Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

Определение 14.5 Пусть

-- матрица размеров $m\times n$ . Тогда транспонированной матрицей

называется такая матрица

размеров $n\times m$ , что ${b_{ij}= a_{ji}}$ , ${i=1,\dots,n}$ , ${j=1,\dots,m}$ .

Транспонированная матрица обозначается $A^{\top}$ или . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\ 3&-1\\ 4&-2\end{array}\right),\quad A^{\top}= \left(\begin{array}{rrr}1&3&4\\ 2&-1&-2\end{array}\right),$

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rr}3&1\\ 2&-4\end{array}\right),\quad B^{\top}=\left(\begin{array}{rr}3&2\\ 1&-4\end{array}\right).$

Читатель легко проверит, что

$\displaystyle \left(A^\top\right)^\top=A,\quad (A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top},\quad ({\alpha}A)^{\top}={\alpha}\left(A^{\top} \right),$

где ${\alpha}$ -- число.

Предложение 14.5 Если произведение определено, то

$\displaystyle (AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}.$

(14.8)

Доказательство. Пусть

-- матрица размеров $m\times n$ ,

-- матрица размеров $n\times k$ . Тогда $A^{\top}$ имеет размеры $n\times m$ , $B^{\top}$ -- размеры $k\times n$ . Число столбцов в $B^{\top}$ совпадает с числом строк в $A^{\top}$ , поэтому произведение $B^{\top}$ на $A^{\top}$ определено. Размеры этого произведения $k\times m$ . Матрица

имеет размеры $m\times k$ , поэтому $(AB)^{\top}$ -- матрица размеров $k\times m$ . Итак, матрицы в правой и левой части равенства (14.8) существуют и имеют одинаковые размеры.

Пусть , $D=(AB)^{\top}=C^\top$ , $F=B^\top$ , ${G=A^\top}$ , ${H=B^\top A^\top=FG}$ . Нам нужно показать, что ${d_{ij}=h_{ij}}$ , $i=1,\dots,k$ , ${j=1,\dots,m}$ .