1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 |

Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Курс лекций по высшей математике начало

Гиперболоиды

        Определение 13.4   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.6)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Найти область сходимости ряда.

Найти область сходимости ряда. Радикальный признак Коши

Вычислить пределы числовых последовательностей.

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Это уравнение на плоскости $ xOy$ задает эллипс с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ b$ , а мнимая полуось равна $ c$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).




Рис.13.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой с уравнением

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1+\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.7)

где $ a_1=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{1+\frac {h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).




Рис.13.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.


Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

Рис.13.10.Однополостный гиперболоид


Если в уравнении (13.6) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.11).




Рис.13.11.Однополостный гиперболоид вращения


        Определение 13.5   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.8)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Координаты ни одной точки плоскости $ xOy$ не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ c$ , а мнимая полуось равна $ b$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).




Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью $ yOz$


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой, с уравнением

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.13).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2}-1,\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если $ {\vert h\vert<c}$ . Если $ {h=c}$ или $ {h=-c}$ , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку $ (0;0;c)$ или $ (0;0;-c)$ . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть $ \vert h\vert>c$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.9)

где $ a_1=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ , $ b_1=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{\frac {h^2}{c^2}-1}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).




Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.




Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид


Если в уравнении (13.8) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис 4.15).




Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления
Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле
Призматоид многогранник