Примеры и упражнения

Пример 3.17 Пусть функция

определена на интервале

следующим образом:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;... ...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\ 2,&\mbox{ если }x\in(3;4). \end{array}\right.$

Найдём её область непрерывности и точки разрыва.

Поскольку внутри интервалов , , , функция совпадает с ограничениями на эти интервалы элементарных функций $\dfrac{1}{x}$ , , , 2 соответственно, то все эти интервалы входят в область непрерывности и точек разрыва там нет. Точками разрыва могут оказаться (но не обязательно окажутся!) лишь точки на стыках этих интервалов, то есть точки , , . Найти предел последовательности .

Пример . Вычислить .

Число е . Рассмотрим последовательность . К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.

Для выяснения того, непрерывна ли функция в точке , найдём пределы слева и справа:

$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1}=1;$

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

$\displaystyle \lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}x^2=1^2=1.$

При этом мы воспользовались тем, что как элементарная функция $\dfrac{1}{x}$ (с областью определения $\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ ), так и элементарная функция

(с областью определения $\mathbb{R}$ ) имеют

внутренней точкой своих областей определения, непрерывны в этой точке, и значения пределов можно найти прямой подстановкой. Поскольку пределы слева и справа в точке 1 совпали и, кроме того, $f(1)=\dfrac{1}{1}=1$ , то условия непрерывности в точке 1 выполнены; разрыва в этой точке нет.

Точно так же исследуем функцию на непрерывность в точке . Найдём пределы слева и справа:

$\displaystyle \lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}x^2=2^2=4;$

$\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(5-x)=5-2=3.$

Поскольку пределы слева и справа при $x\to2$ существуют, но не совпадают, функция имеет разрыв первого рода при

Теперь найдём пределы при $x\to3-$ и $x\to3+$ :

$\displaystyle \lim_{x\to3-}f(x)=\lim_{x\to3-}(5-x)=5-3=2;$

$\displaystyle \lim_{x\to3+}f(x)=\lim_{x\to3+}2=2.$

Здесь пределы слева и справа совпадают между собой и со значением функции в точке 3:

. Значит,

-- точка непрерывности.

Итак, функция имеет единственную точку разрыва , в которой происходит неустранимый разрыв первого рода; область непрерывности функции состоит из объединения двух интервалов: $(0;2)\cup(2;4)$ .

Курс лекций по высшей математике

Примеры и упражнения