Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат:

("старая") и $\tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)

Вычислить пределы функций.

Вычисление производной Методы интегрирования

Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)×sin x.

Найти производную функции y=.

Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат

Математика примеры Найдём интеграл решение задач Физика атомного ядра Пропускная способность в сетях связи Время ожидания Дискретные по уровню или квантованные сигналы

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

Пусть начало "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты , и пусть -- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки в "старой" системе координат , а в "новой" -- $(\tilde x_0;\tilde y_0)$ . Из рис. 12.19 ясно, что ${x_0=x_1+\tilde x_0}$ , ${y_0=y_1+\tilde y_0}$ . Откуда ${\tilde x_0=x_0-x_1}$ , ${\tilde y_0=y_0-y_1}$ . Так как точка взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

Замена переменных для интегралов Найти уравнение гиперболы Электромагнетизм Радиорелейные системы

$\displaystyle \tilde x=x-x_1,\quad\tilde y=y-y_1.$

(12.11)

Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

Предложение 12.6 Пусть некоторая кривая задана уравнением . Тогда в системе координат $\tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке уравнение кривой будет иметь вид ${F(\tilde x+x_1;\tilde y+y_1)=0}$ .

Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.

Предложение 12.7 Пусть некоторая кривая задана уравнением ${F(x-x_1;y-y_1)=0}$ . Тогда в системе координат $\tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке уравнение кривой будет иметь вид ${F(\tilde x;\tilde y)=0}$ .

Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.

Пример 12.7 Нарисуйте кривую ${x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.

Решение. Выделим полные квадраты по переменным и (см. пример 12.1):

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

$\displaystyle (x^2-4x+4)-4+9(y^2+2y+1)-9+4=0.$

Откуда

$\displaystyle (x-2)^2+9(y+1)^2=9.$

Разделим обе части на 9:

$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{3^2}+\frac{(y+1)^2}{1^2}=1.$

Введем новую систему координат с началом в точке

, получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 12.7 получим, что кривая задается уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{3^2}+\frac{\tilde y^2}{1^2}=1,$

а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем рисунок (рис. 12.20).

Рис.12.20.Эллипс, заданный уравнением ${x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$

Из формулы (12.5) $c=\sqrt{9-1}=2\sqrt2$ . Поэтому фокусы в новой системе координат имеют координаты ${\tilde x=\pm2\sqrt2}$ , ${\tilde y=0}$ . Используя формулы (12.11), находим старые координаты фокусов ${x=2\pm2\sqrt2}$ , . Таким образом, фокусами являются точки $F_1(2-2\sqrt2; -1)$ , $F_2(2+2\sqrt2;-1)$ .

Пример 12.8 Постройте параболу

$\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$

найдите ее фокус и директрису.

Решение. Преобразуем уравнение к виду и выделим полный квадрат по переменному :

$\displaystyle 2y+(x^2-6x+9)-9+13=0.$

Из этого уравнения получим

. Произведем параллельный перенос осей координат: ${\tilde x=x-3}$ , ${\tilde y=y-(-2)}$ , новое начало координат --

. В новых координатах уравнение параболы примет вид ${\tilde x^2=-2\tilde y}$ , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: ${x'=-\tilde y}$ , ${y'=\tilde x}$ , то получим уравнение ${(y')^2=2x'}$ . Это уравнение -- каноническое,

. Строим оси и параболу (рис. 12.21).

Рис.12.21.Парабола, заданная уравнением $y=\frac{6x-x^2-13}2$

В системе координат фокус имеет координаты , а директриса задается уравнением . В системе координат ${\tilde xO_1\tilde y}$ координаты фокуса -- , а уравнение директрисы ${\tilde y=0.5}$ . Наконец, в исходной системе координат получим фокус и уравнение директрисы , что и служит ответом к задаче.

Пример 12.9 Постройте кривую

$\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Решение. Преобразуем уравнение к виду

$\displaystyle -(x+1)=\sqrt{2-2y^2+4y}.$

(12.12)

Возведем обе части в квадрат:

$\displaystyle (x+1)^2=2-2y^2+4y.$

При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12.12). Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному

$\displaystyle (x+1)^2=2-2(y^2-2y+1)+2,$

то есть

$\displaystyle (x+1)^2+2(y-1)^2=4.$

Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат: ${\tilde x=x-(-1)}$ , ${\tilde y=y-1}$ . Получим уравнение

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}4+\frac{\tilde y^2}2=1,$

которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и $\sqrt 2$ . Нарисуем его (рис. 12.22).

Рис.12.22.Эллипс, заданный уравнением

Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем уравнение (12.12) к виду

$\displaystyle x=-1-\sqrt{2-2y^2+4y}.$

Из этого уравнения видно, что ${x\leqslant -1}$ . Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину (рис. 12.23).

Рис.12.23.Кривая, заданная уравнением $x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0$

Последний рисунок и является ответом к задаче.

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник

Курс лекций по высшей математике